A solução geral da Eq. de Schrödinger para a partícula livre é dada por Ψ(x, t)=Ae{i(kx-ωt)}+Be{-i(kx+ωt)}. Suponha que A=B=ψ0. Neste caso, a função de onda representa a soma de duas ondas de matéria de mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos, ou seja, tem a forma de uma onda estacionária.
(a) Mostre que |Ψ(x, t)|{2}=2ψ0{2}[1+cos 2kx].

Passo 1

O enunciado dá a solução geral da equação de Schrödinger livre
\Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} + B e^{-i(kx+\omega t)}
e pede para o caso A=B=\psi_0 mostrar que a densidade de probabilidade (o módulo ao quadrado da função de onda) é
| \Psi(x,t) |^{2}=2\psi_0^{2}\bigl[1+\cos(2kx)\bigr].
Informações relevantes fornecidas:
  • A=B=\psi_0 (assumir \psi_0 real simplifica; se \psi_0 for complexo, o resultado fica com |\psi_0|^2 em vez de \psi_0^2).
  • k é o número de onda e \omega é a frequência angular.
  • A tarefa: calcular | \Psi(x,t) |^{2}=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t) e manipular para obter a forma pedida.

Passo 2

Substituindo A=B=\psi_0 na expressão de \Psi obtemos
\Psi(x,t)=\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}+\psi_0 e^{-i(kx+\omega t)}.
Fatorando o fator de tempo comum e^{-i\omega t}
\Psi(x,t)=\psi_0 e^{-i\omega t}\bigl(e^{ikx}+e^{-ikx}\bigr).

Passo 3

Usar a identidade de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta implica
e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos(kx).
Portanto a função de onda fica
\Psi(x,t)=\psi_0 e^{-i\omega t}\cdot 2\cos(kx)=2\psi_0\cos(kx)\,e^{-i\omega t}.
Repare que 2\psi_0\cos(kx) é uma função real (se \psi_0 for real) e todo o fator temporal é apenas uma fase complexa e^{-i\omega t}.

Passo 4

A densidade de probabilidade é o módulo ao quadrado:
|\Psi(x,t)|^{2}=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t).
Calcule a conjugada complexa ( \Psi^*) usando que a conjugada de e^{-i\omega t} é e^{i\omega t}:
\Psi^*(x,t)=2\psi_0\cos(kx)\,e^{i\omega t}.
Multiplicando:
|\Psi(x,t)|^{2}=\bigl(2\psi_0\cos(kx)\,e^{i\omega t}\bigr)\bigl(2\psi_0\cos(kx)\,e^{-i\omega t}\bigr).
O fator de tempo cancela porque e^{i\omega t}e^{-i\omega t}=1, restando
|\Psi(x,t)|^{2}=\bigl(2\psi_0\cos(kx)\bigr)^2=4\psi_0^2\cos^2(kx).

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}
com \theta=kx. Assim
4\psi_0^2\cos^2(kx)=4\psi_0^2\cdot\frac{1+\cos(2kx)}{2}=2\psi_0^2\bigl[1+\cos(2kx)\bigr].
Isso é exatamente a forma pedida.

Passo 6

Comentário físico curto e incentivador: a dependência em x mas não em t de |\Psi|^2 mostra que é uma onda estacionária (a densidade de probabilidade é estacionária). Os pontos onde \cos(kx)=0 são nós (densidade zero) e ocorrem em x=(n+\tfrac12)\pi/k. Bom trabalho — você já entendeu o passo-chave: a fase temporal cancela e sobra uma estrutura espacial fixa.

Resposta

\,2\psi_0^{2}\bigl[1+\cos(2kx)\bigr]\,

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