A solução geral da Eq. de Schrödinger para a partícula livre é dada por Ψ(x, t)=Ae{i(kx-ωt)}+Be{-i(kx+ωt)}. Suponha que A=B=ψ0. Neste caso, a função de onda representa a soma de duas ondas de matéria de mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos, ou seja, tem a forma de uma onda estacionária.
(a) Mostre que |Ψ(x, t)|{2}=2ψ0{2}[1+cos 2kx].
(a) Mostre que |Ψ(x, t)|{2}=2ψ0{2}[1+cos 2kx].
Passo 1
O enunciado dá a solução geral da equação de Schrödinger livre
e pede para o caso
mostrar que a densidade de probabilidade (o módulo ao quadrado da função de onda) é
Informações relevantes fornecidas:
-
(assumir real simplifica; se for complexo, o resultado fica com em vez de ). -
é o número de onda e é a frequência angular. - A tarefa: calcular
e manipular para obter a forma pedida.
Passo 2
Substituindo
na expressão de
obtemos
Fatorando o fator de tempo comum
dá
Passo 3
Usar a identidade de Euler
implica
Portanto a função de onda fica
Repare que
é uma função real (se
for real) e todo o fator temporal é apenas uma fase complexa
.
Passo 4
A densidade de probabilidade é o módulo ao quadrado:
Calcule a conjugada complexa (
) usando que a conjugada de
é
:
Multiplicando:
O fator de tempo cancela porque
, restando
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica
com
. Assim
Isso é exatamente a forma pedida.
Passo 6
Comentário físico curto e incentivador: a dependência em
mas não em
de
mostra que é uma onda estacionária (a densidade de probabilidade é estacionária). Os pontos onde
são nós (densidade zero) e ocorrem em
. Bom trabalho — você já entendeu o passo-chave: a fase temporal cancela e sobra uma estrutura espacial fixa.