10 Ojamaicano Usain Bolt detém vários recordes mundiais, sendo medalhista olimpico em provas como os 100 e 200 metros rasos, além do revezamento 4 \times 100 \mathrm{~m} por equipes.
Na Olimpiada do Rio de Janeiro - Rio 2016 -, por exemplo, ele agregou às suas conquistas très medalhas de ouro.
Admita que nos 100 m finais da prova de revezamento 4 \times 100 \mathrm{~m} da Rio 2016, ao receber o bastāo do companheiro de equipe, Bolt já estivesse com velocidade escalar de intensidade 12,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 2,0 \mathrm{~m} atrás do adversário virtualmente campeão. Suponha, ainda, que o jamaicano tenha vencido a prova com uma vantagem de 2,0 \mathrm{~s} sobre o segundo colocado. Desprezando-se as dimensōes dos atletas, ambos considerados em movimento uniforme ao longo de uma mesma reta, responda:
a) Qual é o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os 100,0 \mathrm{~m} finais?
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Velocidade de Bolt ao receber o bastão: v_B = 12{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Bolt está 2{,}0\\ \mathrm{m} atrás do adversário no instante em que recebe o bastão.
  • Distância total a ser percorrida por Bolt: 100{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Bolt venceu com vantagem de 2{,}0\\ \mathrm{s} sobre o segundo colocado (ou seja, o segundo colocado terminou 2{,}0\\ \mathrm{s} depois de Bolt).
  • Ambos os atletas movem-se com movimento uniforme (velocidade constante) ao longo da mesma reta.
Perguntas:
a) Qual o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os 100{,}0\\ \mathrm{m} finais?
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (passo didático): para movimento retilíneo uniforme usamos a relação
s = v\,t,
onde:
  • s é a distância percorrida (em metros),
  • v é a velocidade constante (em \mathrm{m/s}),
  • t é o tempo gasto (em segundos).
Também é útil a ideia de movimento relativo: se dois objetos se aproximam/afastam com velocidades v_1 e v_2 ao longo da mesma reta, a velocidade de fechamento (ou de diferença) é |v_1-v_2|. Para achar o instante em que as posições coincidem, igualamos as funções posição e resolvemos para t.

Passo 3

Resolvendo (a) — tempo de Bolt para completar 100{,}0\\ \mathrm{m}.
Usando s = v\,t para Bolt, com s=100{,}0 e v=v_B:
100 = 12{,}5\\ t_B.
Logo
t_B = \dfrac{100}{12{,}5}.
Fazendo a divisão:
t_B = 8\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Resolvendo (b) — velocidade do segundo colocado.
O segundo colocado parte no instante t=0 da posição 2{,}0\\ \mathrm{m} à frente, e percorre até 100{,}0\\ \mathrm{m}. Seja v_O a velocidade do segundo colocado e t_O o tempo que ele leva para completar a prova desde t=0. Pelo enunciado, o segundo colocado termina 2{,}0\\ \mathrm{s} depois de Bolt, então
t_O = t_B + 2 = 8 + 2 = 10\\ \mathrm{s}.
A equação da distância para o segundo colocado é
100 = 2 + v_O\,t_O.
Substituindo t_O=10:
100 = 2 + v_O\cdot 10.
Isolando v_O:
v_O = \dfrac{100-2}{10} = \dfrac{98}{10} = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resolvendo (c) — onde Bolt ultrapassou o adversário (distância desde o ponto de recebimento do bastão).
Para achar o instante t_{\text{ultrap}} em que Bolt alcança o adversário igualamos as posições em função do tempo (tomando x=0 no ponto onde Bolt recebe o bastão, e t=0 nesse instante). Posição de Bolt em tempo t:
x_B(t)=v_B\,t.
Posição do adversário em tempo t:
x_O(t)=2 + v_O\,t.
Igualando x_B(t)=x_O(t):
v_B\,t = 2 + v_O\,t.
Isolando t:
t_{\text{ultrap}} = \dfrac{2}{v_B - v_O}.
Este é um uso direto da ideia de velocidade relativa: a diferença v_B-v_O é a velocidade de fechamento; dividir a distância inicial de 2\\ \mathrm{m} por essa diferença dá o tempo até a ultrapassagem.

Passo 6

Cálculo numérico do instante e da posição de ultrapassagem.
Substituindo v_B=12{,}5 e v_O=9{,}8 na fórmula:
t_{\text{ultrap}} = \dfrac{2}{12{,}5-9{,}8} = \dfrac{2}{2{,}7} = \dfrac{20}{27}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}74074\ldots\\ \mathrm{s}.
A distância medida desde o ponto de recebimento do bastão até o ponto de ultrapassagem é
x_{\text{ultrap}} = v_B\,t_{\text{ultrap}} = 12{,}5\cdot \dfrac{20}{27} = \dfrac{250}{27}\\ \mathrm{m}\approx 9{,}25926\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão:
x_{\text{ultrap}}\approx 9{,}26\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 8\\ \mathrm{s}
(b) 9{,}8\\ \mathrm{m/s}
(c) 9{,}26\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados