10 Ojamaicano Usain Bolt detém vários recordes mundiais, sendo medalhista olimpico em provas como os 100 e 200 metros rasos, além do revezamento
por equipes.
Na Olimpiada do Rio de Janeiro - Rio 2016 -, por exemplo, ele agregou às suas conquistas très medalhas de ouro.
Admita que nos 100 m finais da prova de revezamento
da Rio 2016, ao receber o bastāo do companheiro de equipe, Bolt já estivesse com velocidade escalar de intensidade
atrás do adversário virtualmente campeão. Suponha, ainda, que o jamaicano tenha vencido a prova com uma vantagem de
sobre o segundo colocado. Desprezando-se as dimensōes dos atletas, ambos considerados em movimento uniforme ao longo de uma mesma reta, responda:
a) Qual é o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os
finais?
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?
Na Olimpiada do Rio de Janeiro - Rio 2016 -, por exemplo, ele agregou às suas conquistas très medalhas de ouro.
Admita que nos 100 m finais da prova de revezamento
a) Qual é o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Velocidade de Bolt ao receber o bastão:
. - Bolt está
atrás do adversário no instante em que recebe o bastão. - Distância total a ser percorrida por Bolt:
. - Bolt venceu com vantagem de
sobre o segundo colocado (ou seja, o segundo colocado terminou depois de Bolt). - Ambos os atletas movem-se com movimento uniforme (velocidade constante) ao longo da mesma reta.
Perguntas:
a) Qual o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os finais?
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?
a) Qual o intervalo de tempo gasto por Bolt para completar os
b) Qual é a intensidade da velocidade escalar do segundo colocado?
c) Bolt ultrapassou seu adversário quantos metros depois de ter recebido o bastão?
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas (passo didático): para movimento retilíneo uniforme usamos a relação
onde:
-
é a distância percorrida (em metros), -
é a velocidade constante (em ), -
é o tempo gasto (em segundos).
Também é útil a ideia de movimento relativo: se dois objetos se aproximam/afastam com velocidades
e
ao longo da mesma reta, a velocidade de fechamento (ou de diferença) é
. Para achar o instante em que as posições coincidem, igualamos as funções posição e resolvemos para
.
Passo 3
Resolvendo (a) — tempo de Bolt para completar
.
Usando
para Bolt, com
e
:
Logo
Fazendo a divisão:
Passo 4
Resolvendo (b) — velocidade do segundo colocado.
O segundo colocado parte no instante
da posição
à frente, e percorre até
. Seja
a velocidade do segundo colocado e
o tempo que ele leva para completar a prova desde
. Pelo enunciado, o segundo colocado termina
depois de Bolt, então
A equação da distância para o segundo colocado é
Substituindo
:
Isolando
:
Passo 5
Resolvendo (c) — onde Bolt ultrapassou o adversário (distância desde o ponto de recebimento do bastão).
Para achar o instante
em que Bolt alcança o adversário igualamos as posições em função do tempo (tomando
no ponto onde Bolt recebe o bastão, e
nesse instante). Posição de Bolt em tempo
:
Posição do adversário em tempo
:
Igualando
:
Isolando
:
Este é um uso direto da ideia de velocidade relativa: a diferença
é a velocidade de fechamento; dividir a distância inicial de
por essa diferença dá o tempo até a ultrapassagem.
Passo 6
Cálculo numérico do instante e da posição de ultrapassagem.
Substituindo
e
na fórmula:
A distância medida desde o ponto de recebimento do bastão até o ponto de ultrapassagem é
Arredondando com razoável precisão:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)