Uma solução de hidróxido de sódio é concentrada de 8 \% até 25 \% em peso em um evaporador de simples efeito. A alimentação é de 3.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Antes da solução entrar no evaporador, a solução é aquecida em um trocador de calor até 70^{\circ} \mathrm{C}. Como fluido de aquecimento, é empregado vapor saturado a 108^{\circ} \mathrm{C}, mantendo-se o espaço de vapor na pressão absoluta de 90 mmHg . Determine:
a) O consumo de vapor;
b) O coeficiente global de transferência de calor do evaporador sabendo que a superfície de troca térmica é 20 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Alimentação: F=3000\\ \mathrm{kg/h}, com 8\% em massa de NaOH.
  • Produto desejado: concentração 25\% em massa de NaOH.
  • A solução de alimentação é aquecida a 70^\circ\mathrm{C} antes do evaporador.
  • Como fluido de aquecimento usa-se vapor saturado a 108^\circ\mathrm{C}.
  • A pressão absoluta no espaço de vapor do evaporador é 90\\ \mathrm{mmHg}.
  • Área de troca térmica do evaporador: A=20\\ \mathrm{m^2}.
O enunciado pede:
(a) o consumo de vapor (kg/h);
(b) o coeficiente global de transferência de calor U sabendo A=20\\ \mathrm{m^2}.

Passo 2

Balanceamento de massa (conservação do soluto NaOH).
  • Fração mássica de NaOH na alimentação: z_F=0{,}08.
  • Fração mássica de NaOH no produto concentrado: z_P=0{,}25.
Conservação do soluto:
F z_F = P z_P,
logo a vazão de produto P é
P = \frac{F z_F}{z_P} = \frac{3000\cdot 0{,}08}{0{,}25} = 3000\cdot 0{,}32 = 960\\ \mathrm{kg/h}.
Vazão de vapor evaporado V (água removida):
V = F - P = 3000 - 960 = 2040\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Determinar a temperatura de ebulição (temperatura de vapor da solução) correspondente à pressão absoluta 90\\ \mathrm{mmHg}.
Conversão da pressão:
P_{\text{evap}} = 90\\ \mathrm{mmHg} = \frac{90}{760}\cdot 101{,}325\\ \mathrm{kPa}\approx 12{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Da tabela de vapor saturado, a temperatura de saturação correspondente a 12{,}0\\ \mathrm{kPa} é aproximadamente
T_b \approx 49^\circ\mathrm{C}.
(ou seja, a solução ferve a cerca de 49^\circ\mathrm{C} à pressão dada).

Passo 4

Estratégia de balanço energético — conceito e fórmulas usadas.
  • Parte da energia necessária para evaporar a água vem do vapor de aquecimento que condensa em 108^\circ\mathrm{C}.
  • Como a solução de alimentação entra a 70^\circ\mathrm{C} (acima de T_b), ao entrar no evaporador ela libera calor sensível ao resfriar até T_b e parte desse calor gera vapor (flash). Logo o vapor de aquecimento necessário é reduzido por essa contribuição.
  • Vamos escrever o balanço de energia em termos de calor necessário para evaporar V menos o calor liberado pela alimentação ao resfriar de 70^\circ\mathrm{C} para T_b. Esse deficit é suprido pelo vapor de aquecimento.
Fórmula usada (energia por hora, kJ/h):
m_s\; q_{\text{available/kg steam}} = V\;\lambda_{T_b} - F\; c_p\; (T_{\text{feed}}-T_b),
onde
  • m_s é a vazão de vapor de aquecimento (kg/h) que queremos;
  • q_{\text{available/kg steam}} é a energia útil fornecida por 1 kg de vapor de aquecimento (kJ/kg), que inclui a condensação do vapor à 108^\circ\mathrm{C} e o subsequente resfriamento do condensado de 108^\circ\mathrm{C} até T_b;
  • \lambda_{T_b} é o calor latente de vaporização da água à temperatura de ebulição T_b (kJ/kg);
  • c_p é o calor específico da solução (kJ/kg·K);
  • T_{\text{feed}}=70^\circ\mathrm{C}.
Esclarecimento sobre q_{\text{available/kg steam}}:
q_{\text{available/kg steam}} = \lambda_{108^\circ\mathrm{C}} + c_{p,\ell}\,(108 - T_b),
ou seja, a energia liberada por condensar 1 kg de vapor saturado a 108^\circ\mathrm{C} mais o calor liberado ao resfriar o condensado (líquido) de 108^\circ\mathrm{C} até T_b. (Assume-se c_{p,\ell} do líquido aproximadamente igual ao c_p usado antes.)

Passo 5

Valores de propriedades adotados (valores típicos retirados de tabelas / aproximações usuais):
  • Calor específico aproximado da solução (valor usado para simplicidade): c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor próximo ao da água; aceitável para cálculo de prova).
  • Calor latente da água à T_b\approx 49^\circ\mathrm{C}: \lambda_{T_b}\approx 2430\\ \mathrm{kJ/kg} (valor de tabela para cerca de 50^\circ\mathrm{C}).
  • Calor latente da condensação do vapor a 108^\circ\mathrm{C}: \lambda_{108}\approx 2230\\ \mathrm{kJ/kg} (valor de tabela aproximado).
    Esses números são as aproximações usadas nos cálculos que seguem; em uma prova, se houver tabela, usar os valores da tabela.

Passo 6

Calcular os termos do balanço energético.
Energia necessária para vaporizar V:
Q_{\text{evap}} = V\;\lambda_{T_b} = 2040\cdot 2430 = 4\,957\,200\\ \mathrm{kJ/h}.
Energia liberada pela alimentação ao resfriar de 70^\circ\mathrm{C} para T_b=49^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_{\text{feed}} = 70-49 = 21\\ \mathrm{K},
Q_{\text{feed\_cool}} = F\; c_p\; \Delta T = 3000\cdot 4{,}18\cdot 21 = 263\,340\\ \mathrm{kJ/h}.
Déficit de energia a ser fornecido pelo vapor:
Q_{\text{net}} = Q_{\text{evap}} - Q_{\text{feed\_cool}} = 4\,957\,200 - 263\,340 = 4\,693\,860\\ \mathrm{kJ/h}.
Energia disponível por kg de vapor de aquecimento (condensação + resfriamento do condensado até T_b):
q_{\text{avail}} = \lambda_{108} + c_p\,(108 - T_b) = 2230 + 4{,}18\cdot(108-49).
Calcular a parte sensível:
108-49=59\\ \mathrm{K},\qquad 4{,}18\cdot59 = 246{,}62\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
q_{\text{avail}} = 2230 + 246{,}62 = 2476{,}62\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a vazão de vapor de aquecimento m_s:
m_s = \frac{Q_{\text{net}}}{q_{\text{avail}}} = \frac{4\,693\,860}{2476{,}62}\\ \mathrm{kg/h}\approx 1895{,}3\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando para valores práticos:
m_s \approx 1895\\ \mathrm{kg/h}.
(Razão intuitiva: para evaporar 2040\\ \mathrm{kg/h} de água, gasta-se \approx 1{,}0\\ \mathrm{kg} de vapor por kg de água; aqui é 1895/2040\approx0{,}93\\ \mathrm{kg\;steam/kg\;vapor}, compatível com o fato de que parte do vapor é gerado por flashing do aquecimento prévio.)

Passo 8

Determinar o coeficiente global de transferência de calor U.
Primeiro, a potência térmica (taxa de calor) em unidades SI:
Q_{\text{net}} = 4\,693\,860\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{4\,693\,860}{3600}\\ \mathrm{kJ/s} \approx 1303{,}85\\ \mathrm{kW}.
Em watts:
Q = 1303{,}85\\ \mathrm{kW} = 1\,303\,850\\ \mathrm{W}.
No evaporador, o fluido de aquecimento tem temperatura constante de condensação T_s=108^\circ\mathrm{C} e o líquido está fervendo a T_b\approx 49^\circ\mathrm{C}. Portanto a diferença de temperatura na superfície é praticamente constante:
\Delta T = T_s - T_b = 108 - 49 = 59\\ \mathrm{K}.
Como a diferença é praticamente constante, o log-mean (LMTD) é igual a \Delta T.
A relação entre Q, U, A e \Delta T é
Q = U A \Delta T \quad\Rightarrow\quad U = \frac{Q}{A\Delta T}.
Substituindo:
U = \frac{1\,303\,850}{20\cdot 59}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} = \frac{1\,303\,850}{1180}\approx 1\,104{,}9\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando:
U \approx 1{,}10\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} = 1105\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 9

Verificação rápida de consistência:
  • m_s positivo e da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{kg/h} — plausível.
  • U da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} é razoável para transferência com condensação do vapor e ebulição no lado aquoso (valores típicos variam, mas 500–2000 W/m^2K é comum para trocadores condensadores/evaporadores).

Resposta

m_s \approx 1895\\ \mathrm{kg/h}
U \approx 1{,}105\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}

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