Uma solução ideal é formada a partir de 2 mols do solvente e 1 mol do soluto em um ambiente de pressão constante de 1.0 atm e temperatura constante de 300 K . Calcule a variação do volume, entalpia, energia livre de Gibbs e entropia da solução.

Passo 1

O enunciado pede as variações de quatro grandezas quando se forma uma solução ideal a partir de 2 mols do solvente e 1 mol do soluto, em temperatura constante T=300\\ \mathrm{K} e pressão constante P=1{,}0\\ \mathrm{atm}.
Informações dadas (resumindo):
n_{\text{solvente}}=2,\qquad n_{\text{soluto}}=1,\qquad T=300\\ \mathrm{K},\qquad P=1{,}0\\ \mathrm{atm},
e a solução é ideal.
As quantidades que devemos calcular são: variação do volume \Delta V, variação da entalpia \Delta H, variação da energia livre de Gibbs \Delta G e variação da entropia \Delta S da solução (valores para o processo de mistura dos 3 mols).

Passo 2

O que significa “solução ideal” e quais consequências úteis podemos usar (explicando devagar e com jeitinho):
  • Em solução ideal assume-se que as interações entre moléculas diferentes são iguais, em média, às interações entre moléculas iguais. Por isso não há efeito energético ao misturar: a entalpia de mistura é nula. Logo,
\Delta H_{\text{mix}}=0.
  • Também assume-se que os volumes parciais dos componentes na solução são iguais aos volumes molares puros (aditividade de volumes), o que implica que não há variação de volume ao misturar idealmente. Logo,
\Delta V_{\text{mix}}=0.
Essas duas propriedades já nos dão resultados imediatos para \Delta H e \Delta V. Vou justificar e calcular as demais grandezas em seguida.

Passo 3

Relação entre energia interna, entalpia e pressão/volume (para que fique claro porque \Delta U também será zero): a entalpia é definida por
H=U+PV,
portanto para variações, em processo à pressão constante,
\Delta U=\Delta H - P\,\Delta V.
Como para solução ideal \Delta H_{\text{mix}}=0 e \Delta V_{\text{mix}}=0, obtemos imediatamente
\Delta U_{\text{mix}}=0 - P\cdot 0 = 0.
(Isto é só para deixar a cabeça organizada; o enunciado não pediu \Delta U, mas é útil saber.)

Passo 4

Agora vamos calcular a entropia de mistura \Delta S_{\text{mix}}. Para mistura ideal (mistura exotérmica por aleatoriedade), a expressão estatística/combinatória padrão dá:
\Delta S_{\text{mix}} = -R\sum_i n_i\ln x_i,
onde R é a constante dos gases e x_i é a fração molar do componente i. Explico cada símbolo:
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • n_i é o número de mols do componente i (aqui n_1=2 e n_2=1).
  • x_i é a fração molar x_i=\dfrac{n_i}{n_{\text{total}}} com n_{\text{total}}=n_1+n_2.
Calculemos as frações molares:
n_{\text{total}}=2+1=3,
x_{\text{solvente}}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6666667,\qquad x_{\text{soluto}}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333333.
Agora os logaritmos naturais necessários:
\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)= -0{,}405465108,\qquad \ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)= -1{,}098612289.
Multiplicando por n_i e somando:
\sum_i n_i\ln x_i = 2\cdot(-0{,}405465108) + 1\cdot(-1{,}098612289) = -0{,}810930216 -1{,}098612289 = -1{,}909542505.
Aplicando a fórmula da entropia de mistura:
\Delta S_{\text{mix}} = -R\sum_i n_i\ln x_i = -\bigl(8{,}314\bigr)\cdot\bigl(-1{,}909542505\bigr).
Calculando:
\Delta S_{\text{mix}} \approx 8{,}314\times 1{,}909542505 \approx 15{,}877\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
(O resultado é positivo, como esperado — mistura aumenta a desordem.)

Passo 5

Agora a energia livre de Gibbs da mistura. Podemos usar duas formas equivalentes; eu uso a relação termodinâmica clássica:
\Delta G_{\text{mix}} = \Delta H_{\text{mix}} - T\Delta S_{\text{mix}}.
Como \Delta H_{\text{mix}}=0 (solução ideal), isto vira
\Delta G_{\text{mix}} = -T\Delta S_{\text{mix}}.
Substituindo T=300\\ \mathrm{K} e \Delta S_{\text{mix}}\approx 15{,}877\\ \mathrm{J\,K^{-1}}:
\Delta G_{\text{mix}} \approx -300\times 15{,}877 \approx -4{,}763\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
(Alternativamente podia-se usar diretamente \Delta G_{\text{mix}}=RT\sum_i n_i\ln x_i, que dá o mesmo resultado numérico.)

Passo 6

Resumo numérico final (cada passo foi justificado acima):
  • \Delta V_{\text{mix}}=0 (volume não varia em mistura ideal).
  • \Delta H_{\text{mix}}=0 (entalpia de mistura nula para solução ideal).
  • \Delta S_{\text{mix}}\approx 15{,}877\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • \Delta G_{\text{mix}}\approx -4{,}763\times 10^{3}\\ \mathrm{J} (valor negativo: mistura espontânea a T=300\\ \mathrm{K}).
Bateu desespero mas olha só: mistura ideal é simpática — entalpia e volume não mudam, a espontaneidade vem da entropia positiva. Você já está quase lá — fé que dá pra decorar essas fórmulas rapidinho!

Resposta

\Delta V=0
\Delta H=0\\ \mathrm{J}
\Delta G\approx -4{,}763\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta S\approx 15{,}877\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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