A pressão de vapor do benzeno, a 60.6^{\circ} \mathrm{C}, é de 400 torr, mas cai a 386 torr quando 19.0 g de um composto orgânico não-volátil são dissolvidos em 500 g de benzeno. Calcular a massa molar do composto, considerando que o benzeno é um solvente ideal e obedece a lei de Raoult. Explique que aproximações são feitas quando consideramos o solvente obedecendo a Lei de Raoult.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede para calcular a massa molar do soluto não-volátil dissolvido em benzeno.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: \,60,6^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de vapor do benzeno puro a essa temperatura: \,P^\circ_{\text{ben}} = 400\\ \text{torr}.
  • Pressão de vapor da solução (benzeno + soluto): \,P_{\text{solvent}} = 386\\ \text{torr}.
  • Massa do soluto não-volátil dissolvido: \,m_{\text{soluto}} = 19,0\\ \mathrm{g}.
  • Massa do benzeno (solvente): \,m_{\text{ben}} = 500\\ \mathrm{g}.
O que se pede:
  • Calcular a massa molar do soluto (ou seja, quantos gramas por mol tem o soluto).
  • Explicar quais aproximações são feitas ao considerar que o benzeno obedece à Lei de Raoult.
Observação: não se pede nada além disso.

Passo 2

Princípio físico a aplicar e definição das variáveis (explicação detalhada do que usaremos).
A Lei de Raoult para um solvente em solução ideal e com soluto não-volátil diz que a pressão parcial do solvente acima da solução é proporcional à sua fração molar na fase líquida:
P_{\text{solvent}} = x_{\text{solvent}} \, P^\circ_{\text{solvent}}
Onde:
  • P_{\text{solvent}} é a pressão parcial (pressão de vapor) do solvente na solução (aqui \,386\\ \text{torr}).
  • P^\circ_{\text{solvent}} é a pressão de vapor do solvente puro à mesma temperatura (aqui \,400\\ \text{torr}).
  • x_{\text{solvent}} é a fração molar do solvente na solução, definida por
x_{\text{solvent}} = \frac{n_{\text{solvent}}}{n_{\text{solvent}} + n_{\text{soluto}}}
com n representando número de mols.
Vamos primeiro usar a Lei de Raoult para obter x_{\text{solvent}}.

Passo 3

Cálculo da fração molar do solvente a partir das pressões dadas.
Aplicando diretamente:
x_{\text{ben}} = \frac{P_{\text{solvent}}}{P^\circ_{\text{ben}}} = \frac{386}{400} = 0{,}965.
Interpretação: a fração molar do benzeno na solução é \,0{,}965, logo a fração molar do soluto é
x_{\text{soluto}} = 1 - x_{\text{ben}} = 1 - 0{,}965 = 0{,}035.

Passo 4

Relacionar frações molares com números de mols e isolar o número de mols do soluto.
Da definição de fração molar:
x_{\text{ben}}=\frac{n_{\text{ben}}}{n_{\text{ben}}+n_{\text{sol}}}.
Rearranjando para a razão n_{\text{sol}}/n_{\text{ben}}:
\frac{n_{\text{sol}}}{n_{\text{ben}}}=\frac{1-x_{\text{ben}}}{x_{\text{ben}}}=\frac{0{,}035}{0{,}965}=0{,}036269\ldots
Isso significa que para cada mol de benzeno há aproximadamente 0{,}03627 mol de soluto.

Passo 5

Calcular o número de mols de benzeno presente.
Para isso precisamos da massa molar do benzeno. Usarei o valor padrão:
M_{\text{ben}} = 78{,}11\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
O número de mols de benzeno é
n_{\text{ben}}=\frac{m_{\text{ben}}}{M_{\text{ben}}}=\frac{500}{78{,}11}\\ \mathrm{mol}.
Agora fazemos a divisão (mostrando o raciocínio para poder reproduzir na prova sem calculadora aproximando se necessário):
n_{\text{ben}}\approx 6{,}4022\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular o número de mols do soluto usando a razão encontrada.
Usando \,n_{\text{sol}}=n_{\text{ben}}\times \dfrac{n_{\text{sol}}}{n_{\text{ben}}}:
n_{\text{sol}} \approx 6{,}4022 \times 0{,}036269 = 0{,}23238\\ \mathrm{mol}.
Explicação rápida: multiplicamos o número de mols do solvente pela razão para obter os mols do soluto.

Passo 7

Calcular a massa molar do soluto.
A massa molar M_{\text{sol}} é a massa do soluto dividida pelo número de mols:
M_{\text{sol}}=\frac{m_{\text{sol}}}{n_{\text{sol}}}=\frac{19{,}0}{0{,}23238}\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Fazendo a divisão:
M_{\text{sol}}\approx 81{,}79\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (dados iniciais têm 3 sig figs), podemos escrever M_{\text{sol}}\approx 81{,}8\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 8

Discussão didática das aproximações feitas ao assumir que o solvente obedece à Lei de Raoult.
  1. Solução ideal: assumimos que a solução é ideal, ou seja, as interações intermoleculares entre solvente–solvente, solvente–soluto e soluto–soluto são suficientemente semelhantes para que a atividade do solvente seja igual à sua fração molar ( \gamma_{\text{ben}}=1, coeficiente de atividade igual a 1). Na prática, muitas soluções diluídas aproximam-se bem disso, mas soluções com fortes forças intermoleculares diferentes (por ex., formação de ligações de hidrogénio entre soluto e solvente) serão não-ideais e exigiriam correção por coeficiente de atividade.
  2. Soluto não-volátil: assumimos que o soluto não contribui com vapor (não tem pressão de vapor significativa). Se o soluto fosse volátil, a pressão total deveria somar as pressões parciais de ambos, e a relação direta P_{\text{solvent}}=x_{\text{ben}}P^\circ_{\text{ben}} deixaria de ser suficiente.
  3. Diluição: a Lei de Raoult é exatamente válida para todas as frações molares em solução ideal, porém, experimentalmente, para soluções muito diluídas é comum usar aproximações de Henry para o soluto. Aqui a fração molar do soluto é pequena ( 0{,}035), o que ajuda a solução a comportar-se quase ideal quanto ao solvente.
  4. Sem associação/ionização: assumimos que o soluto não se associa nem se ioniza em solução. Se ocorresse dissociação (como sais em água), o número efetivo de partículas mudaria e haveria impacto grande na pressão de vapor.
  5. Pressão de vapor do solvente puro mantida: assumimos que a pressão de vapor do solvente puro P^\circ_{\text{ben}} conhecida (400 torr) é válida à mesma temperatura da solução (a dissolução não altera significativamente a temperatura do sistema).
Consequência prática: se alguma dessas aproximações falhar (solução fortemente não-ideal, soluto parcialmente volátil, ionização, etc.), o valor calculado para a massa molar pode ficar errado — em geral, para interações soluto–solvente fortes que diminuem mais a pressão do que Raoult prevê, a estimativa de massa molar pode ser subestimada ou superestimada dependendo do sinal da não-idealidade. Mas para muitos solutos orgânicos neutros em solventes orgânicos como o benzeno, a aproximação geralmente é razoável.

Resposta

M_{\text{sol}} \approx 81{,}8\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}
Aproximações: solução ideal ( \gamma_{\text{ben}}=1), soluto não-volátil (pressão de vapor desprezível), sem ionização/associação, e uso da Lei de Raoult P_{\text{solvent}}=x_{\text{solvent}}P^\circ_{\text{solvent}}.

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