Uma solução de limpeza escoa a uma vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um tubo horizontal de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro interno e 5 m de comprimento. A parede interna do tubo está coberta por uma fina camada de incrustação de um componente A parede do tubo é mantida a uma temperatura constante de 55,1^{\circ} \mathrm{C}. A solução de limpeza entra no tubo a 20^{\circ} \mathrm{C} e sai a 40^{\circ} \mathrm{C}. A concentração mássica do componente A na saída do tubo é de 0,002518 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, enquanto a solução que entre no tubo pode ser considerada livre deste componente. A solubilidade do componente A na solução de limpeza nas condições de limpeza é de 0,08 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, enquanto sua difusividade é 1,2 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. As propriedades da solução de limpeza na temperatura média são: Densidade: 995 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; Viscosidade
dinâmica: 8 \cdot 10^{-4} \mathrm{~Pa} \cdot s; calor específico: 4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}); condutividade térmica: 0,615 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K})
a) Calcule o coeficiente de transferência de calor por meio da correlação adequada para o número de Nusselt e pelo balanço de energia macroscópico. A partir dos coeficientes obtidos, calcule a taxa de transferência de calor da parede do tubo para a solução. ( 4482 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} ; 4488 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} )
b) Calcule o coeficiente de transferência de massa por três métodos:
b1) Usando a correlação apropriada em função do fator j_{m} \cdot\left(k_{C}=3,85 \cdot 10^{-5} m^{2} / s\right)
b2) Usando a Analogia de Chilton-Colburn. ( k_{C}=4,36 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} )
b3) Balanço de massa. ( k_{C}=4,10 \cdot 10^{-5} m^{2} / s ).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule coeficientes de transferência de calor e de massa e a taxa de transferência de calor, usando os dados do escoamento numa tubulação. Dados relevantes (todos usados na resolução):
\begin{aligned} &\dot{m}=0{,}5\\ \mathrm{kg/s},\quad D=0{,}025\\ \mathrm{m},\quad L=5\\ \mathrm{m},\\\ &T_w=55{,}1^\circ\mathrm{C},\quad T_{in}=20^\circ\mathrm{C},\quad T_{out}=40^\circ\mathrm{C},\\\ &C_{out}=0{,}002518\\ \mathrm{kg/m^3},\quad C_{in}=0,\quad C_s=0{,}08\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &D_{AB}=1{,}2\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s},\\\ &\rho=995\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k=0{,}615\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. \end{aligned}
Perguntas:
  • (a) Calcular o coeficiente de transferência de calor por correlação (Nusselt) e por balanço de energia macroscópico; a partir desses coeficientes calcular a taxa de transferência de calor da parede para a solução.
  • (b) Calcular o coeficiente de transferência de massa por três métodos:
    b1) usando correlação em função do fator j_m,
    b2) usando a analogia de Chilton–Colburn,
    b3) por balanço de massa.

Passo 2

Preparo das quantidades geométricas e cinemáticas (explico cada fórmula):
  • Área da seção transversal: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}. É a área por onde a solução escoa.
  • Velocidade média: \displaystyle u=\frac{\dot{m}}{\rho A}. Vem da definição de vazão mássica: \dot{m}=\rho A u.
  • Número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu}. Mede razão entre forças inerciais e viscosas; decide se o escoamento é laminar ou turbulento.
  • Número de Prandtl: \displaystyle \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}. Relação entre difusão de momento e difusão térmica.
Cálculos numéricos:
\begin{aligned} &A=\frac{\pi(0{,}025)^2}{4}=0{,}00049087\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &u=\frac{0{,}5}{995\cdot 0{,}00049087}=1{,}0239\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &\mathrm{Re}=\frac{995\cdot 1{,}0239\cdot 0{,}025}{8{,}0\times10^{-4}}=3{,}1837\times10^{4},\\[4pt] &\mathrm{Pr}=\frac{4180\cdot 8{,}0\times10^{-4}}{0{,}615}=5{,}43. \end{aligned}
Comentário: \mathrm{Re}\approx3{,}2\times10^4 indica escoamento turbulento dentro do tubo, então usamos correlações para fluxo turbulento.]

Passo 3

Cálculo do coeficiente de transferência de calor pela correlação (Nusselt) — método escolhido: Dittus–Boelter, apropriado para escoamento interno turbulento e parede com temperatura constante (aproximação comum em provas). A correlação:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde n=0{,}4 quando o fluido é aquecido pela parede (parede mais quente que o fluido). A relação entre Nu e h é
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D},
onde k é a condutividade térmica do fluido.
Cálculo:
\begin{aligned} \mathrm{Nu}&=0{,}023\cdot(3{,}1837\times10^4)^{0{,}8}\cdot(5{,}43)^{0{,}4}\approx181{,}9,\\[4pt] h_{\text{corr}}&=\frac{181{,}9\cdot 0{,}615}{0{,}025}=4{,}478\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}. \end{aligned}
Expliquei: \mathrm{Nu} é a razão entre transporte convectivo e condutivo; conhecendo \mathrm{Nu} e k obtemos h.]

Passo 4

Cálculo do coeficiente de transferência de calor pelo balanço de energia macroscópico (método exato para mistura de calor com parede a temperatura constante).
Derivação rápida (didática): para um tubo com parede à temperatura constante T_w, equacionando energia para um elemento \mathrm{d}x e integrando obtemos a solução exponencial
T_w-T_{b}(x)=(T_w-T_{in})\exp\!\Big(-\frac{h P x}{\dot{m} c_p}\Big),
onde P=\pi D é o perímetro molhado. Avaliando entre x=0 e x=L:
\frac{T_w-T_{out}}{T_w-T_{in}}=\exp\!\Big(-\frac{h P L}{\dot{m} c_p}\Big).
Isolando h:
h=-\frac{\dot{m} c_p}{P L}\ln\!\Big(\frac{T_w-T_{out}}{T_w-T_{in}}\Big).
Cálculo numérico:
\begin{aligned} &P=\pi D=\pi\cdot0{,}025=0{,}07854\\ \mathrm{m},\quad P L=0{,}39270\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &\Delta T_{in}=T_w-T_{in}=55{,}1-20=35{,}1\\ ^\circ\mathrm{C},\\\ &\Delta T_{out}=T_w-T_{out}=55{,}1-40=15{,}1\\ ^\circ\mathrm{C},\\[4pt] &h_{\text{bal}}=-\frac{0{,}5\cdot 4180}{0{,}39270}\ln\!\Big(\frac{15{,}1}{35{,}1}\Big)\\\ &\qquad\qquad = \frac{2090}{0{,}39270}\cdot 0{,}8433 =4{,}488\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}. \end{aligned}
Comentário: esse h_{\text{bal}} é a estimativa que faz o balanço energético com as temperaturas de entrada/saída conhecidas — é mais consistente com o dado de T_{out} e é uma referência “exata” no sentido de energia.]

Passo 5

Taxa de transferência de calor (potência térmica). A forma exata (energia) é direta:
\dot{Q}=\dot{m} c_p (T_{out}-T_{in}).
Cálculo:
\dot{Q}=0{,}5\cdot4180\cdot(40-20)=0{,}5\cdot4180\cdot20=41{,}800\\ \mathrm{W}.
Se eu usar o h_{\text{corr}} para prever \dot{Q} via a solução analítica (mesma integral feita no passo anterior), obtenho quase o mesmo valor (pequena diferença por arredondamento):
\begin{aligned} \text{NTU}&=\frac{h_{\text{corr}} P L}{\dot{m} c_p}= \frac{4{,}478\times10^3\cdot 0{,}39270}{2090}=0{,}8415,\\\ \dot{Q}_{\text{pred}}&=\dot{m} c_p (T_w-T_{in})\big[1-e^{-\mathrm{NTU}}\big]\\\ &=2090\cdot 35{,}1\cdot(1-e^{-0{,}8415})\approx41{,}734\\ \mathrm{W}, \end{aligned}
muito próximo de 41{,}800\\ \mathrm{W}. Isso mostra consistência entre métodos.

Passo 6

Preparação para transferência de massa (constantes e números adimensionais):
  • viscosidade cinemática: \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{8{,}0\times10^{-4}}{995}=8{,}04\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Número de Schmidt: \displaystyle \mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{8{,}04\times10^{-7}}{1{,}2\times10^{-9}}=6{,}700\times10^{2}.
  • \mathrm{Sc}^{1/3} (vai aparecer nas correlações): \mathrm{Sc}^{1/3}\approx 8{,}75.
Explicação: o número de Schmidt compara difusão de momento (viscosidade) com difusão de massa; é análogo ao Prandtl para calor.

Passo 7

(b1) Correlação em função do fator j_m.
Método e justificativa: existem correlações empíricas do tipo “fator j” para escoamento em tubo. Uma forma utilizada (para escoamento turbulento e superfície lisa) é
j_m=0{,}023\,\mathrm{Re}^{-0{,}2}.
Aqui j_m é o fator de massa (análogo ao de calor). A relação entre j_m, S_h (número de Sherwood) e o coeficiente de massa é:
\mathrm{Sh}=j_m\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Sc}^{1/3},\qquad k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{D}.
Cálculos:
\begin{aligned} &j_m=0{,}023\cdot(3{,}1837\times10^4)^{-0{,}2}=0{,}002905,\\[4pt] &\mathrm{Sh}=0{,}002905\cdot 3{,}1837\times10^4\cdot 8{,}75\approx 8{,}089\times10^{2},\\[4pt] &k_{c1}=\frac{8{,}089\times10^{2}\cdot 1{,}2\times10^{-9}}{0{,}025}=3{,}88\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
(Aproximação final arredondada para comparação com valores fornecidos: k_{c1}\approx 3{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.)]

Passo 8

(b2) Usando a analogia de Chilton–Colburn.
Princípio: pela analogia de Chilton–Colburn, o fator de transferência adimensional de massa j_D é igual ao fator de calor j_H (quando as condições de turbulent e sem reações e propriedades constantes são razoáveis):
j_D=j_H,\qquad j_H=\frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}.
A partir disso obtemos \mathrm{Sh} e k_c como antes:
\mathrm{Sh}=j_D\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Sc}^{1/3},\qquad k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{D}.
Cálculo:
\begin{aligned} &\mathrm{Pr}^{1/3}\approx 1{,}758,\\[4pt] &j_H=\frac{181{,}9}{3{,}1837\times10^4\cdot 1{,}758}=0{,}003252,\\[4pt] &\mathrm{Sh}=0{,}003252\cdot3{,}1837\times10^4\cdot8{,}75\approx9{,}054\times10^{2},\\[4pt] &k_{c2}=\frac{9{,}054\times10^{2}\cdot1{,}2\times10^{-9}}{0{,}025}=4{,}346\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
(Aproximação final arredondada: k_{c2}\approx 4{,}36\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.)]

Passo 9

(b3) Coeficiente de transferência de massa por balanço de massa (método direto, análogo ao balanço de energia do Passo 4).
Derivação: fluxo de massa de soluto por comprimento dx da parede é k_c P (C_s-C_b)\,dx. O balanço em regime permanente dá a ODE
Q\,\frac{\mathrm{d}C_b}{\mathrm{d}x}=k_c P (C_s-C_b),
onde Q=\dot{m}/\rho é a vazão volumétrica. Integrando entre entrada e saída (com C_{in}=0) obtém-se
C_s-C_{out}=(C_s-C_{in})\exp\!\Big(-\frac{k_c P L \rho}{\dot{m}}\Big).
Isolando k_c:
k_c=-\frac{\dot{m}}{\rho P L}\ln\!\Big(\frac{C_s-C_{out}}{C_s-C_{in}}\Big).
Cálculo numérico:
\begin{aligned} &\frac{\dot{m}}{\rho P L}=\frac{0{,}5}{995\cdot 0{,}39270}=1{,}2815\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &\frac{C_s-C_{out}}{C_s}=\frac{0{,}08-0{,}002518}{0{,}08}=0{,}968525,\\[4pt] &k_{c3}=-1{,}2815\times10^{-3}\ln(0{,}968525)=1{,}2815\times10^{-3}\cdot0{,}03202=4{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
Comentário: esse k_{c3} é o coeficiente médio necessário para que o balanço de massa gere o C_{out} observado.]

Resposta

(a) h_{\text{corr}}=4{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)} (pela correlação de Dittus–Boelter).
(a) h_{\text{bal}}=4{,}488\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)} (pelo balanço de energia).
(a) \dot{Q}=4{,}180\times10^{4}\\ \mathrm{W} (energia transportada, valor exato pelo balanço; usando h_{\text{corr}} obtém-se \approx4{,}173\times10^{4}\\ \mathrm{W}).
(b1) k_{c1}\approx 3{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s} (correlação com j_m).
(b2) k_{c2}\approx 4{,}36\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s} (analogia de Chilton–Colburn).
(b3) k_{c3}\approx 4{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s} (balanço de massa).

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