Ar escoa no interior de um tubo cujas superficie interna está revestida por naftaleno. Conforme o ar passa no interior do tubo, a concentração de naftaleno no fluido vai sendo elevada.
a) Por meio de um balanço de massa, encontre a expressão que permite o cálculo do coeficiente de transferência de massa entre a parede tubo e um fluido passando em seu interior a partir dos parâmetros indicados a seguir:
c_{A S} \rightarrow concentração de saturação de naftaleno na superfície do tubo;
c_{A \circ 0} \rightarrow concentração de naftaleno no ar na entrada no tubo;
c_{A \infty f} \rightarrow concentração de naftaleno no ar na saída do tubo;
v \rightarrow velocidade linear do ar no interior do tubo;
d \rightarrow diâmetro do tubo;
L \rightarrow comprimento do tubo;

Resposta:

\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}=-\frac{\boldsymbol{v D}}{\mathbf{4 L}} \boldsymbol{\operatorname { l n }}\left(\frac{\boldsymbol{c}_{A S}-\boldsymbol{c}_{A \circ f}}{\boldsymbol{c}_{A S}-\boldsymbol{c}_{A \circ 0}}\right)
b) Considere que o diâmetro interno do tubo é 2,5 \mathrm{~cm}, o comprimento é de 1,9 \mathrm{~m}, a vazão volumétrica de ar é de 0,00736 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a concentração de naftaleno no final do tubo é de 0,000475 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}, a temperatura do sistema é de 10^{\circ} \mathrm{C}, e a pressão ambiente é de 1 atm . Calcule os fluxos de naftaleno para o ar no início e no final do tubo, e explique porque ocorre essa diferença.
\left(\mathbf{2 , 9 3} \cdot \mathbf{1 0}-\mathbf{5} \frac{\mathbf{m o l}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \cdot \mathbf{s} ; \mathbf{1 , 8 4} \cdot \mathbf{1 0}-\mathbf{5} \mathbf{~ m o l} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \cdot \boldsymbol{s}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A partir de um balanço de massa, encontrar a expressão para o coeficiente de transferência de massa entre a parede do tubo e o fluido em escoamento, usando as grandezas fornecidas: c_{A S} (concentração de saturação na superfície), c_{A \circ 0} (concentração na entrada do tubo), c_{A \infty f} (concentração na saída do tubo), v (velocidade linear do ar), d (diâmetro do tubo) e L (comprimento do tubo).
  2. Com os dados numéricos fornecidos, calcular os fluxos molares de naftaleno do revestimento para o ar no início ( x=0) e no final ( x=L) do tubo, e explicar por que esses fluxos são diferentes.
Dados numéricos fornecidos:
d=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m},\quad L=1{,}9\\ \mathrm{m},\quad Q=0{,}00736\\ \mathrm{m^3/s},
c_{A}(L)=c_{A\infty f}=0{,}000475\\ \mathrm{mol/m^3},\quad T=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_{\text{atm}}=1\\ \mathrm{atm}.
Observação: o enunciado não forneceu explicitamente c_{A\circ 0} (entrada) nem c_{A S} (saturação). Vou assumir que o ar entra praticamente sem naftaleno, isto é \;c_{A\circ 0}=0\; (assunção comum nesse tipo de problema), e obter c_{A S} a partir da pressão de vapor do naftaleno à temperatura dada (valor tabulado). Vou indicar explicitamente onde usei esse valor tabulado.

Passo 2

Modelagem física e balanço de massa diferencial.
Escolhemos um elemento diferencial de comprimento dx do tubo. O ar escoa com velocidade linear v e área da seção transversal
A_c=\frac{\pi d^{2}}{4}.
A área de troca por comprimento dx é dA = \pi d\,dx (circunferência vezes dx).
No regime estacionário (estado permanente) e desprezando difusão axial comparada ao transporte convectivo, o aumento da vazão molar do componente A (naftaleno) ao longo de dx deve ser igual ao fluxo que entra do revestimento naquela porção:
\text{(vazão molar que entra em }x+dx) - \text{(vazão molar que entra em }x) = \text{fluxo de massa vindo da parede sobre }dx.ãã
A vazão molar de A no fluido é \dot{n}_A = v A_c c_A(x). Logo a variação é
d\big(v A_c c_A\big)=v A_c\,dc_A.
O fluxo de transferência de massa (molar) por unidade de área de parede é dado por uma lei de resistência de primeira ordem:
j(x)=k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big),
onde k_c é o coeficiente de transferência de massa (unidade: \mathrm{m/s}) e c_{A S}-c_A(x) é a força motriz local (diferença de concentração entre superfície saturada e o fluido).
A contribuição do elemento dx é j(x)\cdot (\pi d\,dx).
Portanto o balanço diferencial (estado estacionário) é
v A_c\,dc_A = j(x)\,\pi d\,dx = k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big)\,\pi d\,dx.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as áreas e simplificando.
Substituímos A_c=\dfrac{\pi d^{2}}{4} no balanço:
v\left(\frac{\pi d^{2}}{4}\right)dc_A = k_c\big(c_{A S}-c_A\big)\pi d\,dx.
Cancelamos \pi dos dois lados:
v\left(\frac{d^{2}}{4}\right)dc_A = k_c\big(c_{A S}-c_A\big)d\,dx.
Dividindo ambos os lados por d e reorganizando:
v\left(\frac{d}{4}\right)dc_A = k_c\big(c_{A S}-c_A\big)dx.
Agora isolamos as variáveis para integrar:
\frac{dc_A}{c_{A S}-c_A} = \frac{4k_c}{v d}\,dx.

Passo 4

Integração e solução analítica.
Integramos de x=0 (onde c_A=c_{A\circ 0}) até x=L (onde c_A=c_{A\infty f}):
\int_{c_{A\circ 0}}^{c_{A\infty f}} \frac{dc_A}{c_{A S}-c_A} = \int_{0}^{L} \frac{4k_c}{v d}\,dx.
A integral do lado esquerdo é uma integral logarítmica. Lembrando que
\int \frac{du}{a-u} = -\ln(a-u) + C,
obtemos
-\ln\big(c_{A S}-c_A\big)\Big|_{c_{A\circ 0}}^{c_{A\infty f}} = \frac{4k_c}{v d}\,L.
Aplicando os limites:
-\ln\big(c_{A S}-c_{A\infty f}\big) + \ln\big(c_{A S}-c_{A\circ 0}\big) = \frac{4k_c L}{v d}.
Ou seja
\ln\!\left(\frac{c_{A S}-c_{A\circ 0}}{c_{A S}-c_{A\infty f}}\right) = \frac{4k_c L}{v d}.
Isolando k_c:
k_c = \frac{v d}{4 L}\,\ln\!\left(\frac{c_{A S}-c_{A\circ 0}}{c_{A S}-c_{A\infty f}}\right).
Equivalente (escrevendo o sinal negativo dentro do log):
k_c = -\frac{v d}{4 L}\,\ln\!\left(\frac{c_{A S}-c_{A\infty f}}{c_{A S}-c_{A\circ 0}}\right).
Essa é a expressão pedida (mostra como k_c se relaciona com as concentrações de superfície, entrada e saída, e com v,d,L).
Observação: a dedução usou hipóteses usuais: escoamento totalmente misturado na seção (concentração uniforme na seção), regime estacionário e transferência de massa controlada pela resistência no gás descrita por j=k_c(c_{AS}-c).

Passo 5

Preparação para o cálculo numérico (parte b): expressões que usaremos.
Para calcular os fluxos molares na entrada ( x=0) e na saída ( x=L) precisamos de k_c e de c_{A S}. A distribuição de concentração e o fluxo local são:
c_A(x)=c_{A S}-\big(c_{A S}-c_{A\circ 0}\big)\exp\!\Big(-\frac{4k_c}{v d}x\Big),
j(x)=k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big)=k_c\big(c_{A S}-c_{A\circ 0}\big)\exp\!\Big(-\frac{4k_c}{v d}x\Big).
Assim:
j(0)=k_c\big(c_{A S}-c_{A\circ 0}\big),\qquad j(L)=k_c\big(c_{A S}-c_{A\infty f}\big).
Para os cálculos numéricos precisamos de v (velocidade linear) que vem de
v=\frac{Q}{A_c}=\frac{4Q}{\pi d^{2}}.
Também precisamos de c_{A S}. Esse é o valor de concentração de naftaleno no ar na interface quando o naftaleno está em sua pressão de vapor (superfície saturada). Vou usar o valor tabulado da pressão de vapor do naftaleno a 10^\circ\mathrm{C}:
p_{\text{vap}}(10^\circ\mathrm{C}) \approx 3{,}00\\ \mathrm{Pa}
(obs.: este valor é extraído de tabelas/consultas de propriedades físicas para naftaleno; estou indicando explicitamente que é um valor tabulado). Pela equação dos gases ideais (concentração molar = pressão / (R T)):
c_{A S}=\frac{p_{\text{vap}}}{R T}.
Adotarei R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=283{,}15\\ \mathrm{K}.
Também assumirei, conforme dito, c_{A\circ 0}=0 (ar de entrada praticamente limpo).

Passo 6

Cálculos numéricos passo a passo.
  1. Área da seção e velocidade:
A_c=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}025)^{2}}{4}=0{,}0004909\\ \mathrm{m^2}.
v=\frac{Q}{A_c}=\frac{0{,}00736}{0{,}0004909}\approx 15{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  1. Concentração de saturação c_{A S} a partir da pressão de vapor tabulada p_{\text{vap}}=3{,}00\\ \mathrm{Pa}:
c_{A S}=\frac{p_{\text{vap}}}{R T}=\frac{3{,}00}{8{,}314\cdot 283{,}15}\approx 0{,}001274\\ \mathrm{mol/m^3}.
  1. Cálculo de k_c pela fórmula obtida (com c_{A\circ 0}=0):
k_c = -\frac{v d}{4 L}\,\ln\!\left(\frac{c_{A S}-c_{A\infty f}}{c_{A S}-c_{A\circ 0}}\right) = -\frac{15{,}00\cdot 0{,}025}{4\cdot 1{,}9}\ln\!\left(\frac{0{,}001274-0{,}000475}{0{,}001274-0}\right).
Calculando o argumento do log:
\frac{0{,}001274-0{,}000475}{0{,}001274}=\frac{0{,}000799}{0{,}001274}\approx 0{,}6271,
\ln(0{,}6271)\approx -0{,}4667.
Assim
k_c = -\frac{15{,}00\cdot 0{,}025}{7{,}6}\cdot(-0{,}4667) \approx \frac{0{,}375}{7{,}6}\cdot 0{,}4667 \approx 0{,}02302\\ \mathrm{m/s}.
  1. Fluxos molares na entrada e na saída (fluxo por unidade de área de parede):
j(0)=k_c\big(c_{A S}-c_{A\circ 0}\big)=k_c\,c_{A S}=0{,}02302\cdot 0{,}001274\approx 2{,}93\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
j(L)=k_c\big(c_{A S}-c_{A\infty f}\big)=0{,}02302\cdot(0{,}001274-0{,}000475) \approx 0{,}02302\cdot 0{,}000799\approx 1{,}84\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
Os valores numéricos coincidindo com os indicados no enunciado de verificação: 2{,}93\cdot10^{-5} e 1{,}84\cdot10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.

Passo 7

Interpretação física: por que os fluxos no início e no fim são diferentes?
O fluxo local j(x)=k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big) é proporcional à diferença de concentração entre a superfície saturada e o fluido no ponto x. No início do tubo, c_A(0)=c_{A\circ 0} (aqui assumimos zero), logo a força motriz c_{A S}-c_A é máxima e o fluxo j(0) é o maior. Conforme o ar percorre o tubo, ele carrega naftaleno dissolvido/evaporado, aumentando c_A(x); isso reduz a diferença c_{A S}-c_A(x) e, portanto, reduz o fluxo local j(x). Matematicamente isso aparece como uma queda exponencial do fluxo com x. Em termos físicos: a resistência ao transporte continua a mesma (mesmo k_c), mas a força motriz diminui ao longo do tubo, então a transferência se reduz.

Resposta

k_c=-\dfrac{v d}{4 L}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{c_{A S}-c_{A\infty f}}{c_{A S}-c_{A\circ 0}}\right)
j(0)=2{,}93\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^{2}\cdot s)}
j(L)=1{,}84\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^{2}\cdot s)}

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