A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos) y^prime prime-4 y^prime+3 y=0 ; y(0)=3 ; y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver o PVI
y'' - 4y' + 3y = 0, y(0)=3,;y'(0)=5
usando Transformada de Laplace.
Conteúdo: EDO, condições iniciais, Transformada de Laplace e frações parciais. A gente vai precisar das fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
além da Tabela de Laplace e de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO.
Temos:
Ly''-4,Ly'+3,Ly=0
Substituindo as fórmulas:
(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) -4,(sY(s)-y(0)) +3Y(s)=0
E colocando y(0)=3, y'(0)=5:
(s^2Y(s)-3s-5) -4(sY(s)-3) +3Y(s)=0

Passo 3

Agrupo os termos em Y(s) e os constantes:
s^2Y(s)-4sY(s)+3Y(s);-;(3s+5-12)=0
Note que -4(-3)=+12.
Então:
$$(s^2-4s+3)Y(s);-;(3s+5-12)=0
;\Longrightarrow;(s^2-4s+3)Y(s)=3s+5-12$$
(s^2-4s+3)Y(s);-;(3s+5-12)=0 ;Longrightarrow;(s^2-4s+3)Y(s)=3s+5-12

Passo 4

Agora fatoro o denominador e faço frações parciais:
s^2-4s+3=(s-1)(s-3),
então
3s-7(s-1)(s-3)=As-1+Bs-3
Multiplico tudo por (s-1)(s-3):
3s-7 = A(s-3)+B(s-1)
Para achar A e B, posso usar s=3 e s=1:
- Se s=3: 3cdot3-7=9-7=2 = A(0)+B(3-1)=2B;Rightarrow;B=1
- Se s=1: 3cdot1-7=3-7=-4 = A(1-3)+B(0)=-2A;Rightarrow;A=2
Logo
Y(s)=2s-1+1s-3

Passo 5

Faço a transformada inversa usando a tabela:
L^-11s-a=e^at
Então
y(t)=2e^1cdot t+1cdot e^3cdot t=2e^t+e^3t

Resposta

boxedy(t)=2e^t+e^3t

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