A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos) y^prime prime+2 y^prime=4 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=-4

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolve o PVI
y'' + 2y' = 4, y(0)=1, y'(0)=-4
Usando Transformada de Laplace.”
O assunto é EDO com condição inicial e a ferramenta é a Transformada de Laplace. Vamos precisar saber as fórmulas de Laplace das derivadas e como inverter frações parciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Se chamarmos
Y(s)= Ly(t),
então
Ly'' + 2, Ly' = L4

Passo 3

Lembra que
$$\mathcal L{y’(t)} = s,Y(s)-y(0),\quad
\mathcal L{y’’(t)} = s^2Y(s)-s,y(0)-y’(0).$$
E também Ly'(t) = s,Y(s)-y(0), Ly''(t) = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).

Passo 4

Substituindo os dados y(0)=1 e y'(0)=-4, temos
l(s^2Y(s)-scdot1-(-4)r) +2l(sY(s)-1r) = 4s

Passo 5

Agrupando termos em Y(s) e arrumando o resto:
s^2Y(s)-s+4 +2sY(s)-2 = 4s
Y(s),(s^2+2s) = 4s +s -2 = s^2-2s+4s
Logo
Y(s) = s^2-2s+4s^2,(s+2)

Passo 6

Agora fazemos frações parciais:
s^2-2s+4s^2(s+2) = As+Bs^2+Cs+2
Multiplicando tudo por s^2(s+2) e igualando coeficientes dá
A = –2, B = 2, C = 3.
Então
Y(s) = -2s + 2s^2 + 3s+2

Passo 7

Por fim, invertendo a Laplace termo a termo:
$$y(t) = -2,(1) + 2,(t) + 3,e^{-2t}
= -2 + 2t + 3e^{-2t}.$$

Resposta

boxedy(t) = -2 + 2t + 3e^-2t

Exercícios relacionados