A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos)
(4 pontos)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Resolve o PVI
Usando Transformada de Laplace.”
O assunto é EDO com condição inicial e a ferramenta é a Transformada de Laplace. Vamos precisar saber as fórmulas de Laplace das derivadas e como inverter frações parciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Se chamarmos
então
Passo 3
Lembra que
$$\mathcal L{y’(t)} = s,Y(s)-y(0),\quad
\mathcal L{y’’(t)} = s^2Y(s)-s,y(0)-y’(0).$$
E também .
E também
Passo 4
Substituindo os dados
e
, temos
Passo 5
Agrupando termos em
e arrumando o resto:
Logo
Passo 6
Agora fazemos frações parciais:
Multiplicando tudo por
A = –2, B = 2, C = 3.
Então
Passo 7
Por fim, invertendo a Laplace termo a termo:
$$y(t) = -2,(1) + 2,(t) + 3,e^{-2t}
= -2 + 2t + 3e^{-2t}.$$