Um soluto difunde através de uma placa sólida de 4 mm de espessura. As concentrações são 1,4 e 0,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} nas faces. \mathrm{D}=2,0 \times 10^{11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Calcule o fluxo difusivo. a) 4,0 \times 10
b) 2,0 \times 10
c) 8,0 \times 10^{1}
d) 1,0 \times 10^{11}

Passo 1

O enunciado dá uma placa sólida de espessura \,4\\ \text{mm}\, com concentrações nas faces iguais a \,1{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}\, e \,0{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,. A difusividade é dada como \,D=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{m^{2}/s}\,. A tarefa é calcular o fluxo difusivo (valor numérico e direção). As informações relevantes:
  • Concentração na face A (x=0): \,C_A = 1{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,.
  • Concentração na face B (x=L): \,C_B = 0{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,.
  • Espessura da placa: \,L = 4\\ \text{mm} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\,.
  • Difusividade: \,D = 2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{m^{2}/s}\,.
    O que se pede: o fluxo difusivo estacionário através da placa.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a lei de Fick para difusão unidimensional em regime estacionário e com perfil linear de concentração entre as faces dá
J = -D\,\frac{dC}{dx},
onde:
  • J é o fluxo molar/masico por área por tempo (aqui em \mathrm{kg/(m^{2}\,s)} porque usamos concentrações em \mathrm{kg/m^{3}});
  • D é o coeficiente de difusão em \mathrm{m^{2}/s};
  • dC/dx é o gradiente de concentração perpendicular à placa, em \mathrm{kg/m^{4}}.
    Para uma placa com concentração linear entre as faces, aproximamos
\frac{dC}{dx}\approx\frac{C_B-C_A}{L}.

Passo 3

Calcular a diferença de concentrações e converter a espessura para metros (peguei o valor da espessura e das concentrações do enunciado):
\Delta C = C_B - C_A = 0{,}6 - 1{,}4 = -0{,}8\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
L = 4\\ \text{mm} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o gradiente aproximado dC/dx:
\frac{dC}{dx}\approx\frac{\Delta C}{L}=\frac{-0{,}8}{4{,}0\times10^{-3}}=-200\\ \mathrm{kg/m^{4}}.
Explanação curta: o resultado negativo indica que a concentração decresce no sentido crescente de x (ou seja, concentração maior na face A e menor na face B).

Passo 5

Aplicar a lei de Fick para obter o fluxo (usei o valor de D fornecido no enunciado):
J = -D\,\frac{dC}{dx} = -\bigl(2{,}0\times10^{11}\bigr)\times\bigl(-200\bigr).
Calcule passo a passo:
2{,}0\times10^{11}\times200 = 2{,}0\times200\times10^{11}=400\times10^{11}.
Reescrevendo em potência de dez:
400\times10^{11}=4{,}0\times10^{2}\times10^{11}=4{,}0\times10^{13}.
Assim
J = 4{,}0\times10^{13}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}.

Passo 6

Interpretação do sinal e da direção: o fluxo calculado J ficou positivo porque a escolha de sinal na fórmula deu -D(dC/dx) e dC/dx era negativo; isso significa que o fluxo está no sentido de +x, ou seja, do lado de maior concentração ( C_A=1{,}4) para o lado de menor concentração ( C_B=0{,}6), como esperado fisicamente. Nota: o valor numérico é \,4{,}0\times10^{13}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}. Comparando com as alternativas fornecidas (a, b, c, d), nenhuma delas coincide com esse resultado numérico exato.

Resposta

J = 4{,}0\times10^{13}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s)}

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