( 2,5 pontos) Água a 20^{\circ} \mathrm{C} precisa escoar por um tubo de aço comercial horizontal, de modo que descarregue a 0.015 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Se a queda de pressão máxima por uma extensão de 5 m não puder ser maior do que 15 kPa , determine o menor diâmetro D permissível para o tubo. Considere três joelhos conectados a tubulação.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor diâmetro interno D de um tubo de aço onde deve escoar água a 20^\circ\mathrm{C} com vazão volumétrica Q=0,015\\ \mathrm{m^3/s}. A tubulação é horizontal, tem comprimento L=5\\ \mathrm{m} e a queda de pressão máxima admissível ao longo desses 5\\ \mathrm{m} é \Delta p_{\max}=15\\ \mathrm{kPa}. Além disso há três joelhos conectados à tubulação.
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • Q=0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • L=5\\ \mathrm{m}.
  • \Delta p_{\max}=15\\ \mathrm{kPa}=15000\\ \mathrm{Pa}.
  • número de joelhos =3.
O que precisamos fornecer: o menor D tal que a perda de carga total (por atrito + perdas localizadas por 3 joelhos) não exceda \Delta p_{\max}. No enunciado não vem o coeficiente de perda de cada joelho nem a rugosidade do aço; portanto vou adotar valores típicos (vou explicitar e justificar a escolha no próximo passo) e prosseguir sem perguntar nada, pois a instrução pede solução completa.

Passo 2

Escolhas e propriedades do fluido (valores típicos à 20^\circ\mathrm{C}, que vou usar):
  • massa específica da água: \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • viscosidade dinâmica: \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    Propriedades do tubo e perdas localizadas (assunções razoáveis):
  • rugosidade absoluta para tubo de aço comercial: \epsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (valor usual empregado em exercícios).
  • coeficiente de perda por um joelho (90° padrão): vou assumir K_{\text{joelho}}=0{,}5 (valor típico entre 0{,}3 e 0{,}8 dependendo do raio de curvatura; escolho 0{,}5 como caso médio).
    Logo a soma das perdas localizadas é
\sum K = 3\cdot K_{\text{joelho}} = 3\cdot 0{,}5 = 1{,}5.
Obs.: a resposta numérica final depende levemente dessa suposição; se quiser, depois eu faço com outro K.

Passo 3

Equação fundamental usada (Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de pressão): a queda de pressão total é
\Delta p = \left(\frac{f L}{D} + \sum K\right)\frac{\rho v^2}{2},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • L é o comprimento =5\\ \mathrm{m};
  • D é o diâmetro interno (desconhecido);
  • \sum K é a soma dos coeficientes de perdas localizadas (aqui 1{,}5);
  • v é a velocidade média do escoamento no tubo, dada por
v=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
Além disso o número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{\rho\,4Q}{\pi\mu D},
que depende de D. O fator f depende de \mathrm{Re} e de \epsilon/D (relativa rugosidade). Como f aparece dentro da equação que determina D, teremos que resolver iterativamente.

Passo 4

Escolha da fórmula prática para f: uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (é adequada para escoamento turbulento e muito usada em cálculos de engenharia; evita iteração em f dentro da equação de Colebrook), que é
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explicando: \epsilon/(3{,}7D) representa o efeito da rugosidade relativa; o termo com \mathrm{Re}^{0{,}9} representa o efeito viscoso. Essa fórmula dá f em função de D (via \mathrm{Re}) e \epsilon.
Equação final a resolver para D (colocando v em função de D):
\Delta p = \left(\frac{f(D)\,L}{D} + \sum K\right)\frac{\rho}{2}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2.
Vou resolver numericamente por tentativas (método de “chute e afinar”), mostrando passos para aprender a aplicar isso na prova.

Passo 5

Primeira rodada de tentativas (mostrar cálculos intermediários para treinar a técnica).
Cálculo auxiliar geral usado repetidamente:
v(D)=\frac{4Q}{\pi D^2},\qquad \mathrm{Re}(D)=\frac{\rho\,4Q}{\pi\mu D},\qquad \Delta p_{\text{calc}}(D)=\Big(\tfrac{f(D)L}{D}+\sum K\Big)\tfrac{\rho v(D)^2}{2}.
Tentativa 1: D=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • v=\dfrac{4\cdot0{,}015}{\pi(0{,}05)^2}\approx7{,}64\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx\frac{998\cdot4\cdot0{,}015}{\pi\cdot1{,}002\times10^{-3}\cdot0{,}05}\approx3{,}81\times10^{5}.
  • Usando Swamee–Jain com \epsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} obtém-se f\approx0{,}0201.
  • Então fL/D=0{,}0201\cdot5/0{,}05\approx2{,}008. Assim (fL/D+\sum K)\approx3{,}508.
  • \rho v^2/2 \approx998\cdot(7{,}64)^2/2\approx2{,}91\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p_{\text{calc}}\approx3{,}508\cdot2{,}91\times10^{4}\approx1{,}02\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, muito maior que 15000\\ \mathrm{Pa}. Logo D=0{,}05\\ \mathrm{m} é pequeno demais.
Tentativa 2: D=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • v\approx1{,}91\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx1{,}90\times10^{5}.
  • f\approx0{,}0188.
  • fL/D\approx0{,}0188\cdot5/0{,}10\approx0{,}9375. Então (fL/D+\sum K)\approx2{,}4375.
  • \rho v^2/2\approx998\cdot(1{,}91)^2/2\approx1{,}82\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p_{\text{calc}}\approx2{,}4375\cdot1{,}82\times10^{3}\approx4{,}435\\ \times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, bem menor que 15000\\ \mathrm{Pa}. Logo D=0{,}10\\ \mathrm{m} é maior do que o necessário.
Observação pedagógica: com duas tentativas já vimos que a solução está entre 0{,}05\\ \mathrm{m} e 0{,}10\\ \mathrm{m}. Agora afinamos.

Passo 6

Afinando entre 0{,}075\\ \mathrm{m} e 0{,}08\\ \mathrm{m} (porque D=0{,}08\\ \mathrm{m} dá perda ainda abaixo do limite e D=0{,}075\\ \mathrm{m} dá um pouco acima).
Tentativa 3: D=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • v\approx2{,}985\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx2{,}38\times10^{5}.
  • f\approx0{,}01899.
  • fL/D\approx0{,}0190\cdot5/0{,}08\approx1{,}187. Logo fL/D+\sum K\approx2{,}687.
  • \rho v^2/2\approx998\cdot(2{,}985)^2/2\approx4{,}446\\ \times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p_{\text{calc}}\approx2{,}687\cdot4{,}446\times10^{3}\approx1{,}1945\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=11945\\ \mathrm{Pa}. Isso é menor que 15000\\ \mathrm{Pa}, então D=0{,}08\\ \mathrm{m} é aceitável.
Tentativa 4: D=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • v\approx3{,}395\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx2{,}54\times10^{5}.
  • f\approx0{,}0191.
  • fL/D\approx0{,}0191\cdot5/0{,}075\approx1{,}273. Logo fL/D+\sum K\approx2{,}773.
  • \rho v^2/2\approx998\cdot(3{,}395)^2/2\approx5{,}754\\ \times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p_{\text{calc}}\approx2{,}773\cdot5{,}754\times10^{3}\approx1{,}5960\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=15960\\ \mathrm{Pa}. Isso é ligeiramente maior que 15000\\ \mathrm{Pa}, portanto D=0{,}075\\ \mathrm{m} é pequeno demais.
Interpolando de forma simples entre D=0{,}075\\ \mathrm{m} (dá 15960\\ \mathrm{Pa}) e D=0{,}08\\ \mathrm{m} (dá 11945\\ \mathrm{Pa}) para atingir 15000\\ \mathrm{Pa}, estimamos D\approx0{,}0762\\ \mathrm{m}. Vamos checar este valor.
Tentativa 5 (verificação): D=0{,}0762\\ \mathrm{m}.
  • v=\dfrac{4\cdot0{,}015}{\pi(0{,}0762)^2}\approx3{,}29\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx\frac{998\cdot4\cdot0{,}015}{\pi\cdot1{,}002\times10^{-3}\cdot0{,}0762}\approx2{,}50\times10^{5}.
  • Aplicando Swamee–Jain obtém-se f\approx0{,}01907.
  • fL/D\approx0{,}01907\cdot5/0{,}0762\approx1{,}251. Então fL/D+\sum K\approx2{,}751.
  • \rho v^2/2\approx998\cdot(3{,}29)^2/2\approx5{,}404\\ \times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • \Delta p_{\text{calc}}\approx2{,}751\cdot5{,}404\times10^{3}\approx1{,}4875\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=14875\\ \mathrm{Pa}.
Resultado: para D=0{,}0762\\ \mathrm{m} a queda de pressão calculada fica ligeiramente abaixo de 15000\\ \mathrm{Pa}. Assim o menor diâmetro que satisfaz a condição (usando as suposições feitas) é aproximadamente D\approx0{,}0762\\ \mathrm{m}. Em prova, pode-se aceitar arredondamento para duas casas significativas: D\approx0{,}076\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação prática e recomendações:
  • O menor diâmetro interno calculado é D\approx0{,}0762\\ \mathrm{m} (≈ 76{,}2\\ \mathrm{mm}). Como na prática usa-se diâmetros nominais padronizados, provavelmente escolher-se-ia o próximo diâmetro comercial superior (por exemplo D=0{,}08\\ \mathrm{m} ou o DN correspondente) para garantir margem de segurança.
  • Observação importante: o valor final depende da suposição do coeficiente de perda por joelho K_{\text{joelho}}=0{,}5 e da rugosidade \epsilon. Se K fosse menor (joelhos de grande raio) o diâmetro mínimo seria menor; se K fosse maior, o diâmetro mínimo aumentaria. Em prova, se não derem K, justificar a escolha e prosseguir como fiz.

Resposta

D_{\min}=0{,}0762\\ \mathrm{m}\approx76{,}2\\ \mathrm{mm}

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