( 2,5 pontos) Água a
precisa escoar por um tubo de aço comercial horizontal, de modo que descarregue a
. Se a queda de pressão máxima por uma extensão de 5 m não puder ser maior do que 15 kPa , determine o menor diâmetro D permissível para o tubo. Considere três joelhos conectados a tubulação.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor diâmetro interno
de um tubo de aço onde deve escoar água a
com vazão volumétrica
. A tubulação é horizontal, tem comprimento
e a queda de pressão máxima admissível ao longo desses
é
. Além disso há três joelhos conectados à tubulação.
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
-
. -
. -
. - número de joelhos
.
O que precisamos fornecer: o menor
tal que a perda de carga total (por atrito + perdas localizadas por 3 joelhos) não exceda
. No enunciado não vem o coeficiente de perda de cada joelho nem a rugosidade do aço; portanto vou adotar valores típicos (vou explicitar e justificar a escolha no próximo passo) e prosseguir sem perguntar nada, pois a instrução pede solução completa.
Passo 2
Escolhas e propriedades do fluido (valores típicos à
, que vou usar):
- massa específica da água:
. - viscosidade dinâmica:
.
Propriedades do tubo e perdas localizadas (assunções razoáveis): - rugosidade absoluta para tubo de aço comercial:
(valor usual empregado em exercícios). - coeficiente de perda por um joelho (90° padrão): vou assumir
(valor típico entre 0{,}3 e 0{,}8 dependendo do raio de curvatura; escolho 0{,}5 como caso médio).
Logo a soma das perdas localizadas é
Obs.: a resposta numérica final depende levemente dessa suposição; se quiser, depois eu faço com outro
.
Passo 3
Equação fundamental usada (Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de pressão): a queda de pressão total é
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional); -
é o comprimento ; -
é o diâmetro interno (desconhecido); -
é a soma dos coeficientes de perdas localizadas (aqui ); -
é a velocidade média do escoamento no tubo, dada por
Além disso o número de Reynolds é
que depende de
. O fator
depende de
e de
(relativa rugosidade). Como
aparece dentro da equação que determina
, teremos que resolver iterativamente.
Passo 4
Escolha da fórmula prática para
: uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (é adequada para escoamento turbulento e muito usada em cálculos de engenharia; evita iteração em
dentro da equação de Colebrook), que é
Explicando:
representa o efeito da rugosidade relativa; o termo com
representa o efeito viscoso. Essa fórmula dá
em função de
(via
) e
.
Equação final a resolver para
(colocando
em função de
):
Vou resolver numericamente por tentativas (método de “chute e afinar”), mostrando passos para aprender a aplicar isso na prova.
Passo 5
Primeira rodada de tentativas (mostrar cálculos intermediários para treinar a técnica).
Cálculo auxiliar geral usado repetidamente:
Tentativa 1:
.
-
-
- Usando Swamee–Jain com
obtém-se - Então
Assim -
-
, muito maior que . Logo é pequeno demais.
Tentativa 2:
.
-
. -
-
-
Então -
-
, bem menor que . Logo é maior do que o necessário.
Observação pedagógica: com duas tentativas já vimos que a solução está entre
e
. Agora afinamos.
Passo 6
Afinando entre
e
(porque
dá perda ainda abaixo do limite e
dá um pouco acima).
Tentativa 3:
.
-
-
-
-
Logo -
-
Isso é menor que , então é aceitável.
Tentativa 4:
.
-
-
-
-
Logo -
-
Isso é ligeiramente maior que , portanto é pequeno demais.
Interpolando de forma simples entre
(dá
) e
(dá
) para atingir
, estimamos
. Vamos checar este valor.
Tentativa 5 (verificação):
.
-
-
- Aplicando Swamee–Jain obtém-se
-
Então -
-
Resultado: para
a queda de pressão calculada fica ligeiramente abaixo de
. Assim o menor diâmetro que satisfaz a condição (usando as suposições feitas) é aproximadamente
. Em prova, pode-se aceitar arredondamento para duas casas significativas:
.
Passo 7
Interpretação prática e recomendações:
- O menor diâmetro interno calculado é
(≈ ). Como na prática usa-se diâmetros nominais padronizados, provavelmente escolher-se-ia o próximo diâmetro comercial superior (por exemplo ou o DN correspondente) para garantir margem de segurança. - Observação importante: o valor final depende da suposição do coeficiente de perda por joelho
e da rugosidade . Se fosse menor (joelhos de grande raio) o diâmetro mínimo seria menor; se fosse maior, o diâmetro mínimo aumentaria. Em prova, se não derem , justificar a escolha e prosseguir como fiz.