Qual a soma dos divisores positivos de 360 ?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a soma dos divisores positivos de
?”\n
Informações dadas: o número cujo conjunto de divisores positivos queremos somar é . Não há mais informações no enunciado.
Informações dadas: o número cujo conjunto de divisores positivos queremos somar é
Passo 2
Vamos começar encontrando a fatoração prima de
. Isso significa escrever
como produto de potências de números primos (números que só são divisíveis por
e por eles mesmos). Vou fazer a fatoração passo a passo, explicando cada divisão para ficar claro como proceder na prova.
Dividimos
por
enquanto for possível (porque
é o menor primo):
Parou em
porque
não é divisível por
. Contamos
divisões por
, então temos um fator
.
Agora fatoramos
. O menor primo a tentar é
:
Parou em
, que é primo. Contamos
divisões por
, então temos um fator
. E sobrou
, que é
.
Portanto a fatoração prima de
é
Passo 3
Agora vamos aprender a fórmula para somar todos os divisores positivos de um número a partir da sua fatoração prima. Seja um número
onde cada
é um primo distinto e
é um inteiro positivo. Todo divisor positivo
de
tem a forma
com
para cada
. Então a soma de todos os divisores é obtida somando-se todas as combinações possíveis dos expoentes
. Isso dá um produto de somas geométricas:
Cada fator
é uma soma geométrica, que pode ser calculada pela fórmula
válida quando
(aqui
é primo, então tudo certo).
Em palavras: a soma dos divisores é o produto, sobre cada primo que aparece na fatoração, da soma das potências desse primo desde a potência
até a potência máxima presente em
.
Passo 4
Aplicando essa ideia a
, cuja fatoração é
, temos
Vou calcular cada parêntese com calma (mostrando também a alternativa usando a fórmula da soma geométrica).
Para
:
(Usando a fórmula geométrica:
.)
Para
:
(Usando a fórmula:
.)
Para
:
(Usando a fórmula:
.)
Passo 5
Agora multiplicamos os resultados parciais:
Façamos a multiplicação passo a passo para garantir que dê para fazer sem calculadora:
Primeiro
:
Agora
. Uma forma prática de calcular é fazer
:
Somando:
Portanto a soma dos divisores positivos de
é
.