Qual a soma dos divisores positivos de 360 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a soma dos divisores positivos de 360?”\n
Informações dadas: o número cujo conjunto de divisores positivos queremos somar é 360. Não há mais informações no enunciado.

Passo 2

Vamos começar encontrando a fatoração prima de 360. Isso significa escrever 360 como produto de potências de números primos (números que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos). Vou fazer a fatoração passo a passo, explicando cada divisão para ficar claro como proceder na prova.
Dividimos 360 por 2 enquanto for possível (porque 2 é o menor primo):
360 \div 2 = 180,\quad 180 \div 2 = 90,\quad 90 \div 2 = 45.
Parou em 45 porque 45 não é divisível por 2. Contamos 3 divisões por 2, então temos um fator 2^{3}.
Agora fatoramos 45. O menor primo a tentar é 3:
45 \div 3 = 15,\quad 15 \div 3 = 5.
Parou em 5, que é primo. Contamos 2 divisões por 3, então temos um fator 3^{2}. E sobrou 5, que é 5^{1}.
Portanto a fatoração prima de 360 é
360 = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}.

Passo 3

Agora vamos aprender a fórmula para somar todos os divisores positivos de um número a partir da sua fatoração prima. Seja um número
n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}},
onde cada p_{i} é um primo distinto e a_{i} é um inteiro positivo. Todo divisor positivo d de n tem a forma
d = p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{k}^{b_{k}},
com 0 \le b_{i} \le a_{i} para cada i. Então a soma de todos os divisores é obtida somando-se todas as combinações possíveis dos expoentes b_{i}. Isso dá um produto de somas geométricas:
\sigma(n)=\sum_{d\mid n} d = \prod_{i=1}^{k}\left(1 + p_{i} + p_{i}^{2} + \cdots + p_{i}^{a_{i}}\right).
Cada fator \left(1 + p_{i} + \cdots + p_{i}^{a_{i}}\right) é uma soma geométrica, que pode ser calculada pela fórmula
1 + p + p^{2} + \cdots + p^{a} = \frac{p^{a+1}-1}{p-1},
válida quando p\neq 1 (aqui p é primo, então tudo certo).
Em palavras: a soma dos divisores é o produto, sobre cada primo que aparece na fatoração, da soma das potências desse primo desde a potência 0 até a potência máxima presente em n.

Passo 4

Aplicando essa ideia a 360, cuja fatoração é \,360 = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\,, temos
\sigma(360)=\left(1+2+2^{2}+2^{3}\right)\left(1+3+3^{2}\right)\left(1+5\right).
Vou calcular cada parêntese com calma (mostrando também a alternativa usando a fórmula da soma geométrica).
Para 2^{3}:
1+2+2^{2}+2^{3}=1+2+4+8=15.
(Usando a fórmula geométrica: \dfrac{2^{4}-1}{2-1}=\dfrac{16-1}{1}=15.)
Para 3^{2}:
1+3+3^{2}=1+3+9=13.
(Usando a fórmula: \dfrac{3^{3}-1}{3-1}=\dfrac{27-1}{2}=\dfrac{26}{2}=13.)
Para 5^{1}:
1+5=6.
(Usando a fórmula: \dfrac{5^{2}-1}{5-1}=\dfrac{25-1}{4}=\dfrac{24}{4}=6.)

Passo 5

Agora multiplicamos os resultados parciais:
\sigma(360)=15\cdot 13\cdot 6.
Façamos a multiplicação passo a passo para garantir que dê para fazer sem calculadora:
Primeiro 13\cdot 6:
13\cdot 6 = 78.
Agora 15\cdot 78. Uma forma prática de calcular é fazer 15\cdot 78 = (10+5)\cdot 78 = 10\cdot 78 + 5\cdot 78:
10\cdot 78 = 780,\qquad 5\cdot 78 = 390.
Somando:
780 + 390 = 1170.
Portanto a soma dos divisores positivos de 360 é 1170.

Resposta

1170

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