Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
possíveis?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos anagramas são possíveis da palavra “CAPÍTULO”.
Informações dadas: a palavra é “CAPÍTULO” e devemos contar todas as permutações possíveis das suas letras. As letras presentes são: C, A, P, \acute{I}, T, U, L, O. Não há repetição de nenhuma letra (cada letra aparece exatamente uma vez).

Passo 2

O que é um anagrama aqui? Um anagrama é qualquer rearranjo das letras da palavra, usando todas as letras uma vez em cada rearranjo. Então estamos interessados em todas as ordens diferentes em que podemos colocar as 8 letras distintas da palavra.

Passo 3

Fórmula e conceito usado: quando temos n objetos distintos e queremos contar todas as ordens possíveis (permutações) desses n objetos, o número total é dado por
n! = n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1.
Explicando a fórmula passo a passo: para a primeira posição temos n escolhas; depois de escolher uma letra, para a segunda posição restam n-1 escolhas; e assim por diante, até que só sobre 1 opção para a última posição. Multiplicando essas escolhas obtemos n!.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui n=8 porque a palavra tem 8 letras distintas. Logo o número de anagramas é
8! = 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1.

Passo 5

Vamos calcular 8! passo a passo (sem pular etapas), multiplicando progressivamente:
2!=2.
3!=3\times 2!=3\times 2=6.
4!=4\times 3!=4\times 6=24.
5!=5\times 4!=5\times 24=120.
6!=6\times 5!=6\times 120=720.
7!=7\times 6!=7\times 720=5040.
8!=8\times 7!=8\times 5040=40320.

Passo 6

Portanto, o número de anagramas possíveis da palavra “CAPÍTULO” é 40320. Uma observação prática para a prova: se a palavra tivesse letras repetidas (por exemplo, “ASA” com as letras A,S,A), aí usamos a fórmula
\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}
onde k_1,k_2,\ldots são as multiplicidades das letras repetidas. Ex.: para “ASA” temos n=3 e a letra A aparece 2 vezes, então o número de anagramas seria \dfrac{3!}{2!}=3. Isso é útil quando aparecerem repetições na prova.

Resposta

40320

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