A soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 256. Qual é o número de elementos dessa linha?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10

Passo 1

O enunciado dá a informação principal e pede uma coisa clara:
  • Dado: a soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 256.
  • Pergunta: qual é o número de elementos dessa linha?
  • Alternativas: (a) 7 \n (b) 8 \n (c) 9 \n (d) 10

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicação didática): a soma dos elementos da linha de índice n do Triângulo de Pascal é igual a 2^n.
Explicando por que isso vale (passo a passo, sem pular):
  • A linha de índice n tem os coeficientes binomiais \binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}. Há exatamente n+1 desses termos porque k vai de 0 até n.
  • A fórmula para coeficiente binomial é \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, que conta de forma combinatória quantas maneiras escolher k elementos dentre n.
  • A soma desses coeficientes aparece na expansão do binômio (1+1)^n. Pelo Teorema do Binômio:
(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}1^{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
  • Portanto a soma dos elementos da linha n é (1+1)^n=2^n.

Passo 3

Usando a propriedade acima, se a soma da linha é 256 então
2^n=256.

Passo 4

Resolver 2^n=256. Podemos ver as potências de 2:
2^1=2,\;2^2=4,\;2^3=8,\;2^4=16,\;2^5=32,\;2^6=64,\;2^7=128,\;2^8=256.
Logo 256=2^8, ou seja n=8.

Passo 5

Como a linha de índice n tem n+1 elementos, se n=8 então o número de elementos é
n+1=8+1=9.
Como checagem rápida: linhas pequenas — por exemplo a linha 3 é 1,3,3,1 (tem 4 elementos) e soma 2^3=8 — o padrão bate.

Passo 6

Comparando com as alternativas, o número de elementos 9 corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 9

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