A soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 256. Qual é o número de elementos dessa linha?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
Passo 1
O enunciado dá a informação principal e pede uma coisa clara:
- Dado: a soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é
. - Pergunta: qual é o número de elementos dessa linha?
- Alternativas: (a)
\n (b) \n (c) \n (d)
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicação didática): a soma dos elementos da linha de índice
do Triângulo de Pascal é igual a
.
Explicando por que isso vale (passo a passo, sem pular):
- A linha de índice
tem os coeficientes binomiais . Há exatamente desses termos porque vai de até . - A fórmula para coeficiente binomial é
, que conta de forma combinatória quantas maneiras escolher elementos dentre . - A soma desses coeficientes aparece na expansão do binômio
. Pelo Teorema do Binômio:
- Portanto a soma dos elementos da linha
é .
Passo 3
Usando a propriedade acima, se a soma da linha é
então
Passo 4
Resolver
. Podemos ver as potências de
:
Logo
, ou seja
.
Passo 5
Como a linha de índice
tem
elementos, se
então o número de elementos é
Como checagem rápida: linhas pequenas — por exemplo a linha
é
(tem
elementos) e soma
— o padrão bate.
Passo 6
Comparando com as alternativas, o número de elementos
corresponde à alternativa (c).
Resposta
c) 9