No desenvolvimento do binômio (2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y})^{4}, qual é o termo central?
a) 216 x^{2} y^{2}
b) -216 x^{2} y^{2}
c) 96 x^{3} y
d) -96 x^{3} y

Passo 1

O enunciado pede: “No desenvolvimento do binômio (2x-3y)^{4}, qual é o termo central?”
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é (2x-3y)^{4}.
  • As alternativas são:
    • a) 216 x^{2} y^{2}
    • b) -216 x^{2} y^{2}
    • c) 96 x^{3} y
    • d) -96 x^{3} y

Passo 2

Regra que vamos usar (Binômio de Newton): para inteiro não negativo n,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial.
Explicando com calma:
  • n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1.
  • O somatório gera n+1 termos, um para cada k=0,1,\dots,n.
  • O expoente de a é n-k e o expoente de b é k.
    Sobre o “termo central”: quando n é par existe um único termo central correspondente a k=\dfrac{n}{2}. Aqui n=4 (par), então o termo central corresponde a k=2.

Passo 3

Identificar a e b no nosso caso:
a=2x,\qquad b=-3y,\qquad n=4.
O termo geral é
T_k=\binom{4}{k}(2x)^{4-k}(-3y)^{k}.
Para o termo central tomamos k=\dfrac{4}{2}=2, portanto
T_2=\binom{4}{2}(2x)^{2}(-3y)^{2}.

Passo 4

Calcular passo a passo:
\binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=6.
(2x)^{2}=4x^{2}.
(-3y)^{2}=9y^{2}\quad\text{(o sinal negativo some porque é potência par).}éê
Multiplicando tudo:
T_2=6\cdot 4x^{2}\cdot 9y^{2}=6\cdot 36\,x^{2}y^{2}=216\,x^{2}y^{2}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o termo central é a alternativa (a).

Resposta

a) 216 x^{2} y^{2}

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