Qual é o coeficiente de \mathrm{x}^{3} no desenvolvimento do binômio (\mathrm{x}+2)^{5} ?
a) 10
b) 20
c) 40
d) 80

Passo 1

O enunciado pede: qual é o coeficiente de \mathrm{x}^{3} no desenvolvimento de (\mathrm{x}+2)^{5} ?
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é (\mathrm{x}+2)^{5}.
  • Quer-se o coeficiente do termo com potência \mathrm{x}^{3}.
  • Alternativas: a) 10 \n b) 20 \n c) 40 \n d) 80.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula do binômio de Newton (binomial):
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Explicando os símbolos:
  • \,n é o expoente inteiro não-negativo (aqui \,n=5).
  • k é o índice de somatório que vai de 0 até n.
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) é m!=m\cdot(m-1)\cdots1 para m\ge1 e 0!=1.
  • O termo geral da expansão é \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, com a=\mathrm{x}, b=2 e n=5, o termo geral é
\binom{5}{k}\mathrm{x}^{5-k}2^{k},\qquad k=0,1,2,3,4,5.
Queremos o termo onde a potência de \mathrm{x} é 3. Isso impõe
5-k=3 \quad\Rightarrow\quad k=2.

Passo 4

O coeficiente procurado é o fator que multiplica \mathrm{x}^{3} no termo com k=2, isto é
\binom{5}{2}\cdot 2^{2}.
Calculemos \binom{5}{2} usando a definição de fatorial:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{(2\cdot1)\cdot3!}=\frac{20}{2}=10.

Passo 5

Agora calcule 2^{2} e multiplique:
2^{2}=4,
\binom{5}{2}\cdot 2^{2}=10\cdot4=40.
Portanto o coeficiente do termo \mathrm{x}^{3} em (\mathrm{x}+2)^{5} é 40.

Passo 6

Verificação rápida por outro ponto de vista: a linha correspondente do triângulo de Pascal para n=5 tem coeficientes 1,5,10,10,5,1. O terceiro coeficiente (contando desde k=0) é 10, que multiplicado por 2^{2} 40 — confirma o resultado.

Resposta

c) 40

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