Qual é o coeficiente de
no desenvolvimento do binômio
?
a) 10
b) 20
c) 40
d) 80
a) 10
b) 20
c) 40
d) 80
Passo 1
O enunciado pede: qual é o coeficiente de
no desenvolvimento de
?
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - Quer-se o coeficiente do termo com potência
. - Alternativas: a)
\n b) \n c) \n d) .
Passo 2
Vamos recordar a fórmula do binômio de Newton (binomial):
Explicando os símbolos:
-
é o expoente inteiro não-negativo (aqui ). -
é o índice de somatório que vai de até . -
é o coeficiente binomial, definido por
onde
(fatorial) é
para
e
.
- O termo geral da expansão é
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, com
,
e
, o termo geral é
Queremos o termo onde a potência de
é
. Isso impõe
Passo 4
O coeficiente procurado é o fator que multiplica
no termo com
, isto é
Calculemos
usando a definição de fatorial:
Passo 5
Agora calcule
e multiplique:
Portanto o coeficiente do termo
em
é
.
Passo 6
Verificação rápida por outro ponto de vista: a linha correspondente do triângulo de Pascal para
tem coeficientes
. O terceiro coeficiente (contando desde
) é
, que multiplicado por
dá
— confirma o resultado.
Resposta
c)