Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & m \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], cujo determinante é D , qual é o determinante da nova matriz?
e diz que o determinante desta matriz é D. Pede-se: qual é o determinante da nova matriz obtida ao somar 4 a todos os elementos de A?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz original depende do parâmetro m.
O determinante de A é D (ou seja, D=\det(A)).
A operação feita é adicionar 4 a cada entrada de A, gerando uma nova matriz que vou chamar de B.
O objetivo é expressar \det(B) em termos de D (ou pelo menos encontrar o valor de \det(B) usando o que for conveniente).]
Passo 2
Uma ideia prática e elementar que vou usar: operações do tipo R_i \leftarrow R_i - R_j (subtrair uma linha de outra) não alteram o valor do determinante. Também usarei que, se uma coluna (ou linha) tem dois zeros, é fácil calcular o determinante por expansão nessa coluna (ou linha). Vou aplicar essas operações para calcular primeiro D=\det(A) de forma direta e explícita.
Passo 3
Calcular D=\det(A) por operações em linhas. Escrevo A e faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Essas operações não mudam o determinante.
Já calculamos esse menor no Passo 3; ele vale m-1. Portanto
\det(B)=5\cdot (m-1).
Do Passo 3 temos D=m-1, então a relação entre \det(B) e D é \det(B)=5\cdot (m-1). Não repito a forma final aqui porque a seção de resposta trará a resposta explícita conforme pedido.]