Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & m \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], cujo determinante é D , qual é o determinante da nova matriz?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & m\\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
e diz que o determinante desta matriz é D. Pede-se: qual é o determinante da nova matriz obtida ao somar 4 a todos os elementos de A?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz original depende do parâmetro m.
  • O determinante de A é D (ou seja, D=\det(A)).
  • A operação feita é adicionar 4 a cada entrada de A, gerando uma nova matriz que vou chamar de B.
  • O objetivo é expressar \det(B) em termos de D (ou pelo menos encontrar o valor de \det(B) usando o que for conveniente).]

Passo 2

Uma ideia prática e elementar que vou usar: operações do tipo R_i \leftarrow R_i - R_j (subtrair uma linha de outra) não alteram o valor do determinante. Também usarei que, se uma coluna (ou linha) tem dois zeros, é fácil calcular o determinante por expansão nessa coluna (ou linha). Vou aplicar essas operações para calcular primeiro D=\det(A) de forma direta e explícita.

Passo 3

Calcular D=\det(A) por operações em linhas. Escrevo A e faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Essas operações não mudam o determinante.
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & m\\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -1 & m-3\\[4pt] 0 & -1 & -2\end{pmatrix}.
Agora, expandindo pela primeira coluna (que tem dois zeros), o determinante é o elemento (1,1) vezes o determinante do menor 2\times2:
D=\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & m-3\\[4pt] -1 & -2\end{pmatrix}.
Calculo esse 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & m-3\\[4pt] -1 & -2\end{pmatrix}=(-1)(-2)-(m-3)(-1)=2+(m-3)=m-1.
Portanto
D=m-1.
Comentário amistoso: então o determinante de A é simplesmente m-1. Se m=1 a matriz é singular (determinante zero), caso contrário é invertível.]

Passo 4

Agora monto a nova matriz B obtida somando 4 a cada entrada de A. Isso dá
B=A+4\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&1&1\\[4pt]1&1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+4 & 2+4 & 3+4\\[4pt]1+4 & 1+4 & m+4\\[4pt]1+4 & 1+4 & 1+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 6 & 7\\[4pt]5 & 5 & m+4\\[4pt]5 & 5 & 5\end{pmatrix}.
Aplico as mesmas operações em linhas para facilitar o cálculo: R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Essas operações não alteram \det(B).
B=\begin{pmatrix}5 & 6 & 7\\[4pt]5 & 5 & m+4\\[4pt]5 & 5 & 5\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}5 & 6 & 7\\[4pt]0 & -1 & m-3\\[4pt]0 & -1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora expando \det(B) pela primeira coluna, que tem dois zeros:
\det(B)=5\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & m-3\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix}.
Já calculamos esse menor no Passo 3; ele vale m-1. Portanto
\det(B)=5\cdot (m-1).
Do Passo 3 temos D=m-1, então a relação entre \det(B) e D é \det(B)=5\cdot (m-1). Não repito a forma final aqui porque a seção de resposta trará a resposta explícita conforme pedido.]

Resposta

5D

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