Determine o número de raízes reais distintas da equaçāo:
\left|\begin{array}{rr} x^{2} & -1 \\\\ -1 & x^{2} \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá a equação definida pelo determinante da matriz 2\times2:
\left|\begin{array}{rr} x^{2} & -1 \\\\ -1 & x^{2} \end{array}\right|=0.
O que se pede: determinar o número de raízes reais distintas dessa equação (ou seja, quantos valores reais diferentes de x satisfazem a igualdade).
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz é \begin{pmatrix}x^{2} & -1\\[4pt]-1 & x^{2}\end{pmatrix}.
  • A condição é que o determinante dessa matriz seja igual a zero.]

Passo 2

Lembrete e fórmula: o determinante de uma matriz 2\times2,
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
é dado por
\det = ad - bc.
Aqui a=x^{2}, b=-1, c=-1 e d=x^{2}. Vou aplicar a fórmula substituindo essas entradas.]

Passo 3

Calcular o determinante substituindo os valores:
\det = x^{2}\cdot x^{2} - (-1)\cdot(-1).
Agora faço as multiplicações: x^{2}\cdot x^{2} = x^{4} e (-1)\cdot(-1)=1. Portanto
\det = x^{4} - 1.
A equação dada torna-se então
x^{4}-1=0.

Passo 4

Para resolver x^{4}-1=0 usamos fatoração. Observe que x^{4}-1 é uma diferença de quadrados porque x^{4}=(x^{2})^{2} e 1=1^{2}. A identidade “diferença de quadrados” é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x^{2} e b=1, temos
x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1).

Passo 5

Agora resolvo cada fator separadamente.
  1. Resolver x^{2}-1=0. Isso é outro caso simples de diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1)=0,
logo as soluções são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.
  1. Resolver x^{2}+1=0. Isolando,
x^{2}=-1.
No conjunto dos números reais não existe x tal que x^{2}=-1, porque para todo real x vale x^{2}\ge 0. Portanto x^{2}+1=0 não produz raízes reais (apenas raízes complexas).

Passo 6

Reunindo os resultados: as únicas soluções reais da equação original são x=1 e x=-1. São duas raízes distintas (cada uma aparece com multiplicidade 1 na fatoração (x-1)(x+1)(x^{2}+1)).

Resposta

2

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