Some as séries: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}}
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
Dá a série infinita \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}}.
Pede para somar (calcular o valor) dessa série.
Informações úteis imediatamente extraídas do enunciado:
O somando é a soma de duas parcelas: \dfrac{3^{n}}{15^{n}} e \dfrac{5^{n}}{15^{n}}.
O índice de soma começa em n=0 e vai até infinito.
Passo 2
Separar a série em duas séries mais simples (linearidade da soma de séries).
Explicação: a soma de séries é linear, isto é, se a soma de termos é soma de duas expressões, podemos somar cada expressão separadamente. Assim:
Verificar a condição de convergência para nossas duas séries e aplicar a fórmula.
Para a primeira série, r=\dfrac{1}{5}. Como \left|\dfrac{1}{5}\right|<1, ela converge e