Some as séries:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a série infinita \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}}.
  • Pede para somar (calcular o valor) dessa série.
Informações úteis imediatamente extraídas do enunciado:
  • O somando é a soma de duas parcelas: \dfrac{3^{n}}{15^{n}} e \dfrac{5^{n}}{15^{n}}.
  • O índice de soma começa em n=0 e vai até infinito.

Passo 2

Separar a série em duas séries mais simples (linearidade da soma de séries).
Explicação: a soma de séries é linear, isto é, se a soma de termos é soma de duas expressões, podemos somar cada expressão separadamente. Assim:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{15^{n}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n}}{15^{n}}.

Passo 3

Simplificar cada termo usando potências de quociente.
Observação: \dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}. Aplicando aqui:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{15^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3}{15}\right)^{n}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n}}{15^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{15}\right)^{n}.
Calcular os quocientes:
\frac{3}{15}=\frac{1}{5}, \qquad \frac{5}{15}=\frac{1}{3}.
Portanto reescrevemos:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 4

Lembrar e demonstrar a fórmula da soma de uma série geométrica (muito usada em provas).
Fórmula: para r\in\mathbb{R} com |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Breve demonstração (passo a passo): seja S_N=\sum_{n=0}^{N}r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}. Multiplicando por r e subtraindo:
rS_N=r+r^{2}+\cdots+r^{N}+r^{N+1},
S_N-rS_N=1-r^{N+1},
S_N(1-r)=1-r^{N+1},
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0, logo
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{1-r}.

Passo 5

Verificar a condição de convergência para nossas duas séries e aplicar a fórmula.
Para a primeira série, r=\dfrac{1}{5}. Como \left|\dfrac{1}{5}\right|<1, ela converge e
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}} =\frac{1}{\tfrac{4}{5}} =\frac{5}{4}.
Para a segunda série, r=\dfrac{1}{3}. Como \left|\dfrac{1}{3}\right|<1, ela converge e
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}} =\frac{1}{\tfrac{2}{3}} =\frac{3}{2}.

Passo 6

Somar os resultados das duas séries para obter a soma total.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{15^{n}} = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}.
Colocar com denominador comum 4:
\frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4} + \frac{6}{4} = \frac{11}{4}.
Se quiser um valor decimal: \dfrac{11}{4}=2{,}75.

Resposta

\dfrac{11}{4}

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