Discuta a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} n}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} n}{n^{3}}
e pede para discutir a convergência. Ou seja: determinar se a série converge ou diverge; e, se convergir, especificar se é convergência absoluta ou condicional. As informações explícitas são apenas os termos \dfrac{\operatorname{sen} n}{n^{3}} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma simples).
  • Uma série \sum a_{n} converge se a sequência das somas parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n} tende a um número finito quando N\to\infty.
  • Dizemos que a série converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. A convergência absoluta é uma forma forte de convergência: toda série que converge absolutamente também converge (porque somas de termos com módulo pequeno não podem oscilar para infinito). Vou mostrar isso de forma sucinta mais adiante.

Passo 3

Teste de comparação (ideia usada aqui).
Se existem sequências não negativas 0\leq u_{n}\leq v_{n} para todo n e se \sum v_{n} converge, então \sum u_{n} converge. Aplicamos isso tipicamente tomando u_{n}=|a_{n}|. Então, para mostrar convergência absoluta, basta encontrar uma série positiva convergente que domine |a_{n}|.

Passo 4

Conhecimento padrão útil: a série p (p-series).
A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Explicação rápida (rasa, mas suficiente): pelo teste da integral, comparar com \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Esse integral é finito exatamente quando p>1, logo a série também converge nesse caso. No nosso problema o expoente é p=3, portanto a série \sum 1/n^{3} converge.

Passo 5

Aplicação direta ao termo dado.
Para todo n vale |\operatorname{sen} n|\leq 1. Portanto, para os termos da série,
\left|\frac{\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right|\leq \frac{1}{n^{3}}.
Como vimos, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge (p-series com p=3>1). Pelo teste de comparação, a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right|
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Passo 6

Consequência e comentário prático.
Como a série converge absolutamente, ela converge (a convergência absoluta implica convergência). Além disso podemos dar um limite superior para a soma dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}=\zeta(3)\approx 1{,}202056\ldots
Isto também fornece uma estimativa da ordem de grandeza da soma dos módulos; a própria soma \sum \operatorname{sen} n / n^{3} terá valor absoluto menor ou igual a \zeta(3).

Resposta

A série converge absolutamente; portanto, converge.

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