4 Para o spinor normalizado geral
(Equação 4.139) calcule
e
. Verifique se
.
Passo 1
O enunciado dá um spinor normalizado geral
com a condição de normalização
Pede para calcular os valores esperados
os esperados ao quadrado
e verificar se
Passo 2
Relembrando as definições e a forma de cálculo de valores esperados (passo-a-passo, sem pular etapas):
- O valor esperado de um operador
em um estado representado pelo spinor é
onde
é o conjugado transposto de
.
- Para spin
usamos as matrizes de Pauli e os operadores de spin
- As matrizes de Pauli, explicitamente, são
Vou aplicar a fórmula
calculando
para cada
.]
Passo 3
Cálculo de
.
- Primeiro escrevo
e seu conjugado transposto:
- Calculo
:
Note que
, onde
denota a parte real.
- Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Cálculo de
.
- Calculo
:
Escrevendo
e usando
, temos
Aqui
denota a parte imaginária.
- Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Cálculo de
.
- Calculo
:
- Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Cálculo de
para
.
-
Propriedade útil: para cada matriz de Pauli vale
, onde é a matriz identidade . Isso pode ser verificado multiplicando explicitamente cada por ela mesma (por exemplo , etc.). -
Então
- Como
é proporcional à identidade, o valor esperado em qualquer estado é simplesmente esse escalar:
já que
está normalizado (
).
Portanto cada um dos três esperados ao quadrado vale
, independentemente de
e
.
Passo 7
Verificação de
.
- Somando os três valores encontrados:
- O operador total
atua como sobre o espaço do spin , e o valor esperado em qualquer estado com é
igual à soma acima. Logo a igualdade pedida está verificada.