4 Para o spinor normalizado geral
\chi=\binom{a}{b}=a \chi_{+}+b \chi_{-}
(Equação 4.139) calcule \left\langle S_{x}\right\rangle,\left\langle S_{y}\right\rangle,\left\langle S_{z}\right\rangle,\left\langle S_{x}^{2}\right\rangle,\left\langle S_{y}^{2}\right\rangle e \left\langle S_{z}^{2}\right\rangle. Verifique se \left\langle S_{x}^{2}\right\rangle+\left\langle S_{y}^{2}\right\rangle+ \left\langle S_{z}^{2}\right\rangle=\left\langle S^{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado dá um spinor normalizado geral
\chi=\binom{a}{b}=a\chi_{+}+b\chi_{-}
com a condição de normalização
|a|^{2}+|b|^{2}=1.
Pede para calcular os valores esperados
\langle S_{x}\rangle,\quad \langle S_{y}\rangle,\quad \langle S_{z}\rangle,
os esperados ao quadrado
\langle S_{x}^{2}\rangle,\quad \langle S_{y}^{2}\rangle,\quad \langle S_{z}^{2}\rangle,
e verificar se
\langle S_{x}^{2}\rangle+\langle S_{y}^{2}\rangle+\langle S_{z}^{2}\rangle=\langle S^{2}\rangle.

Passo 2

Relembrando as definições e a forma de cálculo de valores esperados (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • O valor esperado de um operador O em um estado representado pelo spinor \chi é
\langle O\rangle=\chi^{\dagger}O\chi,
onde \chi^{\dagger} é o conjugado transposto de \chi.
  • Para spin 1/2 usamos as matrizes de Pauli \sigma_{i} e os operadores de spin
S_{i}=\frac{\hbar}{2}\sigma_{i},\qquad i=x,y,z.
  • As matrizes de Pauli, explicitamente, são
\sigma_{x}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_{y}=\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt]i & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_{z}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Vou aplicar a fórmula \langle S_{i}\rangle=(\hbar/2)\,\chi^{\dagger}\sigma_{i}\chi calculando \chi^{\dagger}\sigma_{i}\chi para cada i.]

Passo 3

Cálculo de \langle S_{x}\rangle.
  • Primeiro escrevo \chi e seu conjugado transposto:
\chi=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix},\qquad \chi^{\dagger}=(a^{*}\; b^{*}).
  • Calculo \chi^{\dagger}\sigma_{x}\chi:
\chi^{\dagger}\sigma_{x}\chi=(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} =(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}b\\[4pt]a\end{pmatrix} =a^{*}b+b^{*}a.
Note que a^{*}b+b^{*}a=2\operatorname{Re}(a^{*}b), onde \operatorname{Re} denota a parte real.
  • Multiplicando por \hbar/2 obtemos
\langle S_{x}\rangle=\frac{\hbar}{2}\,(a^{*}b+b^{*}a)=\hbar\,\operatorname{Re}(a^{*}b).]

Passo 4

Cálculo de \langle S_{y}\rangle.
  • Calculo \chi^{\dagger}\sigma_{y}\chi:
\chi^{\dagger}\sigma_{y}\chi=(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt]i & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} =(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}-i b\\[4pt]i a\end{pmatrix} =-i a^{*}b + i b^{*}a.
Escrevendo c=a^{*}b e usando b^{*}a=c^{*}, temos
-i c + i c^{*}=2\,\operatorname{Im}\text{(c)}=2\,\operatorname{Im}(a^{*}b).
Aqui \operatorname{Im} denota a parte imaginária.
  • Multiplicando por \hbar/2 obtemos
\langle S_{y}\rangle=\frac{\hbar}{2}\,(-i a^{*}b + i b^{*}a)=\hbar\,\operatorname{Im}(a^{*}b).]

Passo 5

Cálculo de \langle S_{z}\rangle.
  • Calculo \chi^{\dagger}\sigma_{z}\chi:
\chi^{\dagger}\sigma_{z}\chi=(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} =(a^{*}\; b^{*})\begin{pmatrix}a\\[4pt]-b\end{pmatrix} =|a|^{2}-|b|^{2}.
  • Multiplicando por \hbar/2 obtemos
\langle S_{z}\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(|a|^{2}-|b|^{2}\right).]

Passo 6

Cálculo de \langle S_{i}^{2}\rangle para i=x,y,z.
  • Propriedade útil: para cada matriz de Pauli vale \sigma_{i}^{2}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2. Isso pode ser verificado multiplicando explicitamente cada \sigma_{i} por ela mesma (por exemplo \sigma_{x}^{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}^{2}=I, etc.).
  • Então
S_{i}^{2}=\left(\frac{\hbar}{2}\sigma_{i}\right)^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}\,\sigma_{i}^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}I.
  • Como S_{i}^{2} é proporcional à identidade, o valor esperado em qualquer estado \chi é simplesmente esse escalar:
\langle S_{i}^{2}\rangle=\chi^{\dagger}\left(\frac{\hbar^{2}}{4}I\right)\chi=\frac{\hbar^{2}}{4}\,\chi^{\dagger}\chi=\frac{\hbar^{2}}{4},
já que \chi está normalizado ( \chi^{\dagger}\chi=1).
Portanto cada um dos três esperados ao quadrado vale \hbar^{2}/4, independentemente de a e b.

Passo 7

Verificação de \langle S_{x}^{2}\rangle+\langle S_{y}^{2}\rangle+\langle S_{z}^{2}\rangle=\langle S^{2}\rangle.
  • Somando os três valores encontrados:
\langle S_{x}^{2}\rangle+\langle S_{y}^{2}\rangle+\langle S_{z}^{2}\rangle =\frac{\hbar^{2}}{4}+\frac{\hbar^{2}}{4}+\frac{\hbar^{2}}{4}=\frac{3\hbar^{2}}{4}.
  • O operador total S^{2}=S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2} atua como (3\hbar^{2}/4)I sobre o espaço do spin 1/2, e o valor esperado \langle S^{2}\rangle em qualquer estado com s=1/2 é
\langle S^{2}\rangle = s(s+1)\hbar^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\hbar^{2}=\frac{3\hbar^{2}}{4},
igual à soma acima. Logo a igualdade pedida está verificada.

Resposta

\displaystyle \langle S_{x}\rangle=\hbar\,\operatorname{Re}(a^{*}b)
\displaystyle \langle S_{y}\rangle=\hbar\,\operatorname{Im}(a^{*}b)
\displaystyle \langle S_{z}\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(|a|^{2}-|b|^{2}\right)
\displaystyle \langle S_{x}^{2}\rangle=\frac{\hbar^{2}}{4}
\displaystyle \langle S_{y}^{2}\rangle=\frac{\hbar^{2}}{4}
\displaystyle \langle S_{z}^{2}\rangle=\frac{\hbar^{2}}{4}
\displaystyle \langle S_{x}^{2}\rangle+\langle S_{y}^{2}\rangle+\langle S_{z}^{2}\rangle=\frac{3\hbar^{2}}{4}=\langle S^{2}\rangle

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