e pede as probabilidades de obter \hbar/2 e -\hbar/2 ao medir S_z e S_x.
Informações relevantes fornecidas:
O vetor de estado em base S_z (vetores coluna com componentes relativas a |+z\rangle e |-z\rangle) é \chi acima.
Precisa-se calcular quatro probabilidades: P(S_z=+\hbar/2), P(S_z=-\hbar/2), P(S_x=+\hbar/2) e P(S_x=-\hbar/2).]
Passo 2
Princípio usado (postulado de medição): a probabilidade de obter um autovalor associado a um autovetor |\varphi\rangle ao medir um observável num estado |\psi\rangle é
P = |\langle\varphi|\psi\rangle|^2.
Aqui \langle\varphi|\psi\rangle é o produto interno (conjugado linear à esquerda): se |\varphi\rangle e |\psi\rangle têm componentes \phi_1,\phi_2 e \psi_1,\psi_2 então
e o módulo quadrado é |\langle\varphi|\psi\rangle|^2 = \langle\varphi|\psi\rangle \langle\varphi|\psi\rangle^*. Também útil: para um número complexo a+ib,
|a+ib|^2 = a^2 + b^2 = (a+ib)(a-ib).
Passo 3
Probabilidades para S_z.
Na base de autovetores de S_z (forma padrão) temos
(Justificativa curta: estes são os autovetores da matriz de Pauli \sigma_x, que troca as componentes; aplicar \sigma_x a estes vetores dá \pm 1 vezes o próprio vetor.)]