1 Exemplo 4.2 Suponha que uma partícula de spin 1 / 2 esteja no estado
\chi=\frac{1}{\sqrt{6}}\binom{1+i}{2} .
Quais são as probabilidades de se obter \hbar / 2 e -\hbar / 2 se você medir S_{z} e S_{x} ?

Passo 1

O enunciado dá o estado da partícula de spin 1/2
\chi=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1+i\\[4pt]2\end{pmatrix}
e pede as probabilidades de obter \hbar/2 e -\hbar/2 ao medir S_z e S_x.
Informações relevantes fornecidas:
  • O vetor de estado em base S_z (vetores coluna com componentes relativas a |+z\rangle e |-z\rangle) é \chi acima.
  • Precisa-se calcular quatro probabilidades: P(S_z=+\hbar/2), P(S_z=-\hbar/2), P(S_x=+\hbar/2) e P(S_x=-\hbar/2).]

Passo 2

Princípio usado (postulado de medição): a probabilidade de obter um autovalor associado a um autovetor |\varphi\rangle ao medir um observável num estado |\psi\rangle é
P = |\langle\varphi|\psi\rangle|^2.
Aqui \langle\varphi|\psi\rangle é o produto interno (conjugado linear à esquerda): se |\varphi\rangle e |\psi\rangle têm componentes \phi_1,\phi_2 e \psi_1,\psi_2 então
\langle\varphi|\psi\rangle = \phi_1^* \psi_1 + \phi_2^* \psi_2,
e o módulo quadrado é |\langle\varphi|\psi\rangle|^2 = \langle\varphi|\psi\rangle \langle\varphi|\psi\rangle^*. Também útil: para um número complexo a+ib,
|a+ib|^2 = a^2 + b^2 = (a+ib)(a-ib).

Passo 3

Probabilidades para S_z.
Na base de autovetores de S_z (forma padrão) temos
|+z\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad |-z\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As amplitudes são então as componentes do vetor \chi:
\langle +z|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i),\qquad \langle -z|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}(2).
Agora as probabilidades são os módulos ao quadrado:
P(S_z=+\hbar/2)=\left|\frac{1+i}{\sqrt{6}}\right|^2=\frac{1}{6}|1+i|^2.
Calcule |1+i|^2=(1)^2+(1)^2=2. Logo
P(S_z=+\hbar/2)=\frac{1}{6}\cdot 2=\frac{1}{3}.
E para o outro:
P(S_z=-\hbar/2)=\left|\frac{2}{\sqrt{6}}\right|^2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Verificação rápida: \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1, consistente com normalização.]

Passo 4

Autovetores de S_x na mesma base S_z.
Os autovetores de S_x (normalizados) escritos na base de S_z são
|+x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad |-x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
(Justificativa curta: estes são os autovetores da matriz de Pauli \sigma_x, que troca as componentes; aplicar \sigma_x a estes vetores dá \pm 1 vezes o próprio vetor.)]

Passo 5

Amplitude e probabilidade para S_x=+\hbar/2.
Calcule a amplitude
\langle +x|\chi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\big((1+i)+2\big) = \frac{1}{\sqrt{12}}(3+i).
Agora o módulo ao quadrado:
|3+i|^2 = 3^2 + 1^2 = 10,
portanto
P(S_x=+\hbar/2)=\frac{|3+i|^2}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Amplitude e probabilidade para S_x=-\hbar/2.
Amplitude
\langle -x|\chi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\big((1+i)-2\big) = \frac{1}{\sqrt{12}}(-1+i).
Módulo ao quadrado:
|-1+i|^2 = (-1)^2 + 1^2 = 2,
logo
P(S_x=-\hbar/2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
Verificação: \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}=1, consistente.

Resposta

P(S_z=+\hbar/2)=\dfrac{1}{3}
P(S_z=-\hbar/2)=\dfrac{2}{3}
P(S_x=+\hbar/2)=\dfrac{5}{6}
P(S_x=-\hbar/2)=\dfrac{1}{6}

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