6.133 O mecanismo Whitworth mostrado é utilizado para a produção de um movimento de retorno rápido no ponto
. O bloco em
está preso à manivela
e é livre para deslizar em um rasgo no membro
. Determine o binário
que deve ser aplicado na manivela
para manter o mecanismo em equilíbrio quando (a)
, (b)
.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada) e o que é pedido.
- O enunciado pede: determinar o binário
aplicado na manivela para manter o mecanismo em equilíbrio quando (a) e (b) . - Informação visível na figura:
- Distância vertical entre o ponto
e o ponto : . - Distância vertical entre a linha superior de referência e
: (presente na figura). - Distância horizontal (medida na figura) entre a parede vertical e uma linha vertical próxima a
: . - O bloco em
está preso à manivela e é livre para deslizar num rasgo do membro . - Na figura aparecem também setas de sentido de binário em
(rotulado ) e em (rotulado ); a figura não mostra numericamente o valor de (se houver um binário externo em ele não está numerado na imagem que foi enviada).
- Distância vertical entre o ponto
- O que NÃO está (claramente) dado na figura/ enunciado enviado:
- Não há, na imagem enviada, um valor numérico para um possível binário resistente em
(por exemplo ). Se existir um binário externo em (ou uma carga aplicada em ) a sua magnitude não foi informada. - A definição geométrica exata do ângulo
(se é medido em relação à vertical ou à horizontal, e em que ponto) não está verbalizada no enunciado; a figura sugere um ângulo mas não fica 100% clara a referência angular nem a posição exata do bloco em para .
- Não há, na imagem enviada, um valor numérico para um possível binário resistente em
Conclusão do passo 1: O enunciado pede o binário em
, e a figura dá várias distâncias geométricas, mas falta informação numérica crucial sobre cargas/ binários externos (por exemplo
se houver) ou uma definição geométrica inequívoca de
. Por isso, antes de calcular um valor numérico final, preciso apontar que com a informação fornecida tal qual está não há dados suficientes para dar um valor numérico único para
. No entanto, dá para montar a resolução completa e produzir a fórmula que relaciona
com quaisquer dados externos (por exemplo um
) e indicar como obter o valor numérico assim que o dado ausente for fornecido.
Passo 2
Estratégia física e ferramenta matemática que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
- Ideia física: o mecanismo é composto por duas barras articuladas em
e ligadas ao quadro (fixo) em e . Para uma posição de equilíbrio estático, o trabalho virtual total produzido pelos binários externos, sob quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis, deve ser zero (princípio do trabalho virtual). Para rotações infinitesimais e das barras em e , o trabalho virtual proveniente dos binários é Daí obtemos a relação Ou seja: para obter o binário requerido em precisamos conhecer a razão geométrica entre os pequenos giros compatíveis com a restrição da junta em . - Como obter
: usamos a cinemática instantânea em . A velocidade instantânea do ponto pode ser escrita de duas formas (uma por rotação em torno de e outra por rotação em torno de ): onde é o vetor de até e o vetor de até . Para pequenas rotações substituímos por e fazemos a mesma comparação. A partir dessa igualdade obtém‑se a razão (Mais adiante mostro a dedução desse resultado passo a passo — é uma identidade vetorial útil para este tipo de problema.)
Passo 3
Demonstração detalhada (didática) da fórmula para a razão
. Vou fazer devagar, como num exame.
-
Definição de vetores relevantes:
- Seja
o vetor de até . Em notação curta . - Seja
o vetor de até . Em notação curta .
- Seja
-
Deslocamentos virtuais de
por rotações pequenas: - Se a barra presa em
sofre uma rotação virtual , o deslocamento virtual de causado por essa rotação é - Se a barra presa em
sofre uma rotação virtual , o deslocamento virtual de causado por essa rotação é - Na configuração compatível o ponto
não pode deslocar-se arbitrariamente: os dois efeitos devem produzir o mesmo deslocamento (o deslocamento total de é o mesmo vindo de ambas as descrições). Logo
- Se a barra presa em
-
Tomando produto escalar com
(isto é, projetamos a igualdade na direção ). Note a identidade vetorial válida para vetores no plano: Aplicando isso, obtemosUsando a identidade acima e que, fica -
Finalmente isolamos a razão desejada:É uma fórmula compacta e exata, muito útil: a razão entre os pequenos giros é dada pelo produto escalar dos vetores posição dividido pelo quadrado da norma do vetor relativo ao pivô correspondente.
Passo 4
Aplicação ao equilíbrio virtual (ligando binários e cinemática).
- Como mostrado no Passo 2, o requisito de equilíbrio virtual é
Substituindo a razão obtida no Passo 3 obtemos - Interpretação: o momento que deve ser aplicado em
é proporcional ao momento em pela razão geométrica acima. O sinal negativo indica sentidos opostos de torques para equilibrar (convencional — depende do sinal adotado em ). Em módulo:
Passo 5
Como obter vetores [\mathbf{r}_A) e
analiticamente a partir da geometria da figura (procedimento passo a passo que você aplica na prova).
- Coloque um sistema de eixos conveniente; por exemplo escolha a origem em
e tome o eixo vertical positivo para cima e o eixo horizontal positivo para a direita. - Então
-
é simplesmente a posição do ponto relativa a : . -
é a posição de relativa a : .
-
- O ponto
está na interseção da circunferência de raio centrada em com a reta que passa por com inclinação dada por (a reta do membro ). Logo obtenha resolvendo o sistema com ângulo : }(x_B,y_B)= (x_C,y_C)+s\mathbf{u}(\alpha),para algums\ge0), \end{cases}]onde é o versor que indica a direção do membro . - Substituindo a expressão paramétrica do ponto
da reta (em função do parâmetro escalar , a distância ) na equação da circunferência obtém‑se uma equação quadrática em ; resolvendo‑a obtém‑se e, em seguida, as coordenadas de . - Depois calcule
e com as coordenadas de e finalmente compute e a expressão para do passo anterior.]
Passo 6
Aplicação numérica parcial usando as distâncias que consegui ler na figura — porém atenção: falta um dado imprescindível.
- A partir da figura foi possível ler três comprimentos:
, e . Com essas medidas e com a definição explícita do ângulo (que não ficou inequívoca na figura), e sobretudo com a informação numérica sobre qualquer binário ou carga externa (por exemplo um ), consegue‑se seguir o procedimento descrito no Passo 5 e obter um valor numérico para . - No estado atual da informação enviada, NÃO HÁ um valor numérico de
nem uma definição perfeitamente não ambígua de (referência: vertical ou horizontal). Por isso não é possível fornecer um único número para . O que eu já consigo oferecer (e que é útil na prova) é a fórmula final que relaciona ao binário em e aos vetores posição: Esta é a resposta geral: aplique‑a com os vetores calculados conforme o Passo 5 para cada pedido.
Passo 7
Exemplo prático (mostra como fazer o cálculo numérico se fornecido, passo a passo — use isto como receita na prova)
-
Suponha que você tenha fixado o sistema de coordenadas com
em e em (isto é coerente com as distâncias lidas). Supondo que a direção do membro esteja dada por um ângulo medido a partir do eixo (ou expressa em função de , dependendo de como foi definido no enunciado original), proceda assim: - Escreva a posição de
como . - Impor
dando a equação quadrática para . Resolva para . - Calcule
e . - Compute
e . - Calcule
por .
- Escreva a posição de
-
Observação final prática: se no enunciado que você tem em mãos existir um número para
(por exemplo ), você insere esse número na fórmula e obtém o valor numérico pedido para e , repetindo o procedimento para cada .
Resposta
Não é possível fornecer um valor numérico para
com a informação que foi enviada, porque falta um dado essencial (por exemplo o valor numérico do binário externo em
,
, ou uma definição inequívoca do ângulo
na figura).
A relação geral que deve ser usada para obter assim que esse dado for conhecido é
A relação geral que deve ser usada para obter
onde
e
são obtidos a partir das coordenadas de
(determinadas pela interseção da circunferência centrada em
com a reta de
na direção do membro
).