6.133 O mecanismo Whitworth mostrado é utilizado para a produção de um movimento de retorno rápido no ponto D. O bloco em B está preso à manivela A B e é livre para deslizar em um rasgo no membro C D. Determine o binário \mathbf{M} que deve ser aplicado na manivela A B para manter o mecanismo em equilíbrio quando (a) \alpha=0, (b) \alpha=30^{\circ}.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada) e o que é pedido.
  • O enunciado pede: determinar o binário \mathbf{M} aplicado na manivela A B para manter o mecanismo em equilíbrio quando (a) \alpha=0 e (b) \alpha=30^\circ.
  • Informação visível na figura:
    • Distância vertical entre o ponto A e o ponto C: 14\\ \text{cm}.
    • Distância vertical entre a linha superior de referência e A: 6\\ \text{cm} (presente na figura).
    • Distância horizontal (medida na figura) entre a parede vertical e uma linha vertical próxima a B: 8\\ \text{cm}.
    • O bloco em B está preso à manivela A B e é livre para deslizar num rasgo do membro C D.
    • Na figura aparecem também setas de sentido de binário em A (rotulado M_A) e em C (rotulado M_C); a figura não mostra numericamente o valor de M_C (se houver um binário externo em C ele não está numerado na imagem que foi enviada).
  • O que NÃO está (claramente) dado na figura/ enunciado enviado:
    • Não há, na imagem enviada, um valor numérico para um possível binário resistente em C (por exemplo M_C). Se existir um binário externo em C (ou uma carga aplicada em B) a sua magnitude não foi informada.
    • A definição geométrica exata do ângulo \alpha (se é medido em relação à vertical ou à horizontal, e em que ponto) não está verbalizada no enunciado; a figura sugere um ângulo \alpha mas não fica 100% clara a referência angular nem a posição exata do bloco em B para \alpha=0.
Conclusão do passo 1: O enunciado pede o binário em A, e a figura dá várias distâncias geométricas, mas falta informação numérica crucial sobre cargas/ binários externos (por exemplo M_C se houver) ou uma definição geométrica inequívoca de \alpha. Por isso, antes de calcular um valor numérico final, preciso apontar que com a informação fornecida tal qual está não há dados suficientes para dar um valor numérico único para \mathbf{M}. No entanto, dá para montar a resolução completa e produzir a fórmula que relaciona M_A com quaisquer dados externos (por exemplo um M_C) e indicar como obter o valor numérico assim que o dado ausente for fornecido.

Passo 2

Estratégia física e ferramenta matemática que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
  • Ideia física: o mecanismo é composto por duas barras articuladas em B e ligadas ao quadro (fixo) em A e C. Para uma posição de equilíbrio estático, o trabalho virtual total produzido pelos binários externos, sob quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis, deve ser zero (princípio do trabalho virtual). Para rotações infinitesimais \delta\theta_A e \delta\theta_C das barras em A e C, o trabalho virtual proveniente dos binários é \delta W = M_A\,\delta\theta_A + M_C\,\delta\theta_C = 0.Daí obtemos a relação M_A = -\,M_C\,\frac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A}.Ou seja: para obter o binário requerido em A precisamos conhecer a razão geométrica \dfrac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A} entre os pequenos giros compatíveis com a restrição da junta em B.
  • Como obter \dfrac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A}: usamos a cinemática instantânea em B. A velocidade instantânea do ponto B pode ser escrita de duas formas (uma por rotação em torno de A e outra por rotação em torno de C): \mathbf{v}_B = \omega_A\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{B/A} = \omega_C\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{B/C},onde \mathbf{r}_{B/A} é o vetor de A até B e \mathbf{r}_{B/C} o vetor de C até B. Para pequenas rotações \delta\theta substituímos \omega por \delta\theta e fazemos a mesma comparação. A partir dessa igualdade obtém‑se a razão \frac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A}=\frac{\mathbf{r}_{B/A}\cdot\mathbf{r}_{B/C}}{\lVert\mathbf{r}_{B/C}\rVert^2}.(Mais adiante mostro a dedução desse resultado passo a passo — é uma identidade vetorial útil para este tipo de problema.)

Passo 3

Demonstração detalhada (didática) da fórmula para a razão \dfrac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A}. Vou fazer devagar, como num exame.
  1. Definição de vetores relevantes:
    • Seja \mathbf{r}_A o vetor de A até B. Em notação curta \mathbf{r}_A=\mathbf{r}_{B/A}.
    • Seja \mathbf{r}_C o vetor de C até B. Em notação curta \mathbf{r}_C=\mathbf{r}_{B/C}.
  2. Deslocamentos virtuais de B por rotações pequenas:
    • Se a barra presa em A sofre uma rotação virtual \delta\theta_A, o deslocamento virtual de B causado por essa rotação é \delta\mathbf{r}^{(A)} = \delta\theta_A\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_A.
    • Se a barra presa em C sofre uma rotação virtual \delta\theta_C, o deslocamento virtual de B causado por essa rotação é \delta\mathbf{r}^{\text{(C)}} = \delta\theta_C\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C.
    • Na configuração compatível o ponto B não pode deslocar-se arbitrariamente: os dois efeitos devem produzir o mesmo deslocamento (o deslocamento total de B é o mesmo vindo de ambas as descrições). Logo \delta\theta_A\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_A = \delta\theta_C\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C.
  3. Tomando produto escalar com \mathbf{k}\times\mathbf{r}_C (isto é, projetamos a igualdade na direção \mathbf{k}\times\mathbf{r}_C). Note a identidade vetorial válida para vetores no plano:
    (\mathbf{k}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{k}\times\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
    Aplicando isso, obtemos
    \delta\theta_A\,(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_A)\cdot(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C) = \delta\theta_C\,(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)\cdot(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C).
    Usando a identidade acima e que (\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)\cdot(\mathbf{k}\times\mathbf{r}_C)=\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2, fica
    \delta\theta_A\,\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C = \delta\theta_C\,\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2.
  4. Finalmente isolamos a razão desejada:
    \boxed{\displaystyle \frac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A} =\frac{\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C}{\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2 }. }
    É uma fórmula compacta e exata, muito útil: a razão entre os pequenos giros é dada pelo produto escalar dos vetores posição dividido pelo quadrado da norma do vetor relativo ao pivô correspondente.

Passo 4

Aplicação ao equilíbrio virtual (ligando binários e cinemática).
  • Como mostrado no Passo 2, o requisito de equilíbrio virtual é M_A\,\delta\theta_A + M_C\,\delta\theta_C = 0.Substituindo a razão obtida no Passo 3 obtemos M_A + M_C\frac{\delta\theta_C}{\delta\theta_A}=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\displaystyle M_A = -\,M_C\,\frac{\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C}{\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2}.}
  • Interpretação: o momento que deve ser aplicado em A é proporcional ao momento em C pela razão geométrica acima. O sinal negativo indica sentidos opostos de torques para equilibrar (convencional — depende do sinal adotado em M_C). Em módulo: |M_A| = |M_C|\;\frac{|\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C|}{\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2}.

Passo 5

Como obter vetores [\mathbf{r}_A) e \mathbf{r}_C analiticamente a partir da geometria da figura (procedimento passo a passo que você aplica na prova).
  1. Coloque um sistema de eixos conveniente; por exemplo escolha a origem em A e tome o eixo vertical positivo para cima e o eixo horizontal positivo para a direita.
  2. Então
    • \mathbf{r}_A é simplesmente a posição do ponto B relativa a A: \mathbf{r}_A=(x_B-x_A,\,y_B-y_A).
    • \mathbf{r}_C é a posição de B relativa a C: \mathbf{r}_C=(x_B-x_C,\,y_B-y_C).
  3. O ponto B está na interseção da circunferência de raio \lVert\mathbf{r}_A\rVert = AB centrada em A com a reta que passa por C com inclinação dada por \alpha (a reta do membro CD). Logo obtenha B resolvendo o sistema \begin{cases} (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=AB^2,\\[4pt] \text{(equação da reta que passa por \(C com ângulo \alpha: }(x_B,y_B)= (x_C,y_C)+s\mathbf{u}(\alpha),para algums\ge0), \end{cases}]onde \mathbf{u}(\alpha) é o versor que indica a direção do membro CD.
  4. Substituindo a expressão paramétrica do ponto B da reta (em função do parâmetro escalar s, a distância CB) na equação da circunferência obtém‑se uma equação quadrática em s; resolvendo‑a obtém‑se s e, em seguida, as coordenadas de B.
  5. Depois calcule \mathbf{r}_A e \mathbf{r}_C com as coordenadas de B e finalmente compute \frac{\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C}{\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2}e a expressão para M_A do passo anterior.]

Passo 6

Aplicação numérica parcial usando as distâncias que consegui ler na figura — porém atenção: falta um dado imprescindível.
  • A partir da figura foi possível ler três comprimentos: 6\\ \text{cm}, 14\\ \text{cm} e 8\\ \text{cm}. Com essas medidas e com a definição explícita do ângulo \alpha (que não ficou inequívoca na figura), e sobretudo com a informação numérica sobre qualquer binário ou carga externa (por exemplo um M_C), consegue‑se seguir o procedimento descrito no Passo 5 e obter um valor numérico para M_A.
  • No estado atual da informação enviada, NÃO HÁ um valor numérico de M_C nem uma definição perfeitamente não ambígua de \alpha (referência: vertical ou horizontal). Por isso não é possível fornecer um único número para M. O que eu já consigo oferecer (e que é útil na prova) é a fórmula final que relaciona M_A ao binário em C e aos vetores posição: \boxed{\displaystyle M_A = -\,M_C\,\frac{\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C}{\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2}. }Esta é a resposta geral: aplique‑a com os vetores calculados conforme o Passo 5 para cada \alpha pedido.

Passo 7

Exemplo prático (mostra como fazer o cálculo numérico se fornecido, passo a passo — use isto como receita na prova)
  • Suponha que você tenha fixado o sistema de coordenadas com A em (0,0) e C em (0,-14\\ \text{cm}) (isto é coerente com as distâncias lidas). Supondo que a direção do membro CD esteja dada por um ângulo \varphi medido a partir do eixo x (ou expressa em função de \alpha, dependendo de como \alpha foi definido no enunciado original), proceda assim:
    1. Escreva a posição de B como (x_B,y_B)=(0,-14)+s(\cos\varphi,\sin\varphi).
    2. Impor AB= \text{(medida de }AB\text{)} dando a equação quadrática para s. Resolva para s>0.
    3. Calcule \mathbf{r}_A=(x_B,y_B)-(0,0) e \mathbf{r}_C=(x_B,y_B)-(0,-14).
    4. Compute \mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C e \lVert\mathbf{r}_C\rVert^2.
    5. Calcule M_A por M_A = -M_C\,(\mathbf{r}_A\cdot\mathbf{r}_C)/\lVert\mathbf{r}_C\rVert^2.
  • Observação final prática: se no enunciado que você tem em mãos existir um número para M_C (por exemplo M_C= \text{(x units)}), você insere esse número na fórmula e obtém o valor numérico pedido para \alpha=0 e \alpha=30^\circ, repetindo o procedimento para cada \alpha.

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico para \mathbf{M} com a informação que foi enviada, porque falta um dado essencial (por exemplo o valor numérico do binário externo em C, M_C, ou uma definição inequívoca do ângulo \alpha na figura).
A relação geral que deve ser usada para obter M assim que esse dado for conhecido é
\displaystyle M_A = -\,M_C\,\frac{\mathbf{r}_{B/A}\cdot\mathbf{r}_{B/C}}{\lVert\mathbf{r}_{B/C}\rVert^2},
onde \mathbf{r}_{B/A} e \mathbf{r}_{B/C} são obtidos a partir das coordenadas de B (determinadas pela interseção da circunferência centrada em A com a reta de C na direção do membro CD).

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