2 \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+x^{2}=4 x-3

Passo 1

O enunciado dá a equação
2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+x^{2}=4x-3
e pede as soluções reais x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x (real).
  • Há um termo trigonométrico \cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right) multiplicado por 2.
  • O restante é polinomial em x (um quadrático).
  • Não há nenhuma outra condição ou restrição.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação de modo a isolar tudo num único lado, formando uma função cuja raiz procuramos:
2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+x^{2}-4x+3=0.
Defina a função
g(x)=x^{2}-4x+3+2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right).
Procuramos os pontos x tais que g(x)=0.
Explicação didática: juntar tudo em g(x) facilita aplicar teoremas de análise (ex.: Teorema do Valor Intermediário) e métodos numéricos. Aqui x^{2}-4x+3 é o polinômio (x-1)(x-3).

Passo 3

Observação importante sobre o termo trigonométrico: para todo t vale -1\le\cos t\le1. Multiplicando por 2 obtemos
-2\le 2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 2.
Portanto g(x) é a soma do quadrático (x-1)(x-3) com um termo que está sempre entre -2 e 2. Isso dá limites úteis para g(x) e nos ajuda a localizar mudanças de sinal (onde podem estar raízes).

Passo 4

Usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes: se g(a)\cdot g(b)<0 então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Vamos avaliar g em alguns pontos inteiros para achar trocas de sinal.
Calculemos alguns valores (aqui aparecem aproximações numéricas de \cos):
\begin{aligned} g(0)&=0^{2}-0+3+2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=3+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}\approx 4,732,\\[4pt] g(1)&=1-4+3+2\cos\!\left(1+\frac{\pi}{6}\right)=0+2\cos\!\left(1{,}5236\right)\approx 0{,}0954>0,\\[4pt] g(2)&=4-8+3+2\cos\!\left(2+\frac{\pi}{6}\right)=-1+2\cos\!\left(2{,}5236\right)\approx -2{,}63<0,\\[4pt] g(3)&=9-12+3+2\cos\!\left(3+\frac{\pi}{6}\right)=0+2\cos\!\left(3{,}5236\right)\approx -1{,}854<0,\\[4pt] g(4)&=16-16+3+2\cos\!\left(4+\frac{\pi}{6}\right)=3+2\cos\!\left(4{,}5236\right)\approx 2{,}624>0. \end{aligned}
Interpretação: há mudança de sinal entre g(1)>0 e g(2)<0, logo existe pelo menos uma raiz em (1,2). Há também mudança de sinal entre g(3)<0 e g(4)>0, logo existe pelo menos uma raiz em (3,4). Assim esperamos duas raízes reais (pelo menos uma em cada intervalo).]

Passo 5

Escolhemos um método numérico simples e robusto para encontrar as raízes com precisão: o método da bisseção. Explicação do método (didático):
  • Se g(a)\cdot g(b)<0 existe uma raiz em (a,b).
  • Calcula-se c=(a+b)/2 e avalia g\text{(c)}.
  • Se g\text{(c)}=0 achou-se a raiz; se não, substitui-se o intervalo (a,b) por (a,c) ou (c,b) de modo que o novo intervalo ainda contenha uma mudança de sinal.
  • Repetir até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão desejada.
    Bisseção garante convergência e não exige derivadas.

Passo 6

Aplicamos bisseção para achar a raiz em (1,2). Vou mostrar as iterações principais (arredondei valores de g para 4 casas decimais quando necessário):
  1. a=1, b=2. g(1)\approx 0{,}0954>0, g(2)\approx -2{,}63<0.
  2. c=1{,}5. g(1{,}5)\approx -0{,}837 (negativo) ⇒ raiz em (1,1{,}5).
  3. c=1{,}25. g(1{,}25)\approx -0{,}837 (negativo) ⇒ raiz em (1,1{,}25).
  4. c=1{,}125. g(1{,}125)\approx -0{,}3898 ⇒ raiz em (1,1{,}125).
  5. c=1{,}0625. g(1{,}0625)\approx -0{,}1517 ⇒ raiz em (1,1{,}0625).
  6. c=1{,}03125. g(1{,}03125)\approx -0{,}0296 ⇒ raiz em (1,1{,}03125).
  7. c=1{,}015625. g(1{,}015625)\approx 0{,}0322 ⇒ raiz em (1{,}015625,1{,}03125).
  8. c=1{,}0234375. g(1{,}0234375)\approx 0{,}00117 ⇒ raiz em (1{,}0234375,1{,}03125).
  9. c=1{,}02734375. g(1{,}02734375)\approx -0{,}01423 ⇒ raiz em (1{,}0234375,1{,}02734375).
  10. c=1{,}025390625. g(1{,}025390625)\approx -0{,}00654 ⇒ raiz em (1{,}0234375,1{,}025390625).
  11. c=1{,}0244140625. g(1{,}0244140625)\approx -0{,}00264 ⇒ raiz em (1{,}0234375,1{,}0244140625).
  12. c=1{,}02392578125. g(1{,}02392578125)\approx -0{,}00075 ⇒ raiz em (1{,}0234375,1{,}02392578125).
  13. c=1{,}023681640625. g(1{,}023681640625)\approx 0{,}00021 ⇒ raiz em (1{,}023681640625,1{,}02392578125).
Após estas iterações temos o intervalo de confiança para a raiz: aproximadamente (1{,}023681640625,\;1{,}02392578125). Tomando uma aproximação com 4 casas decimais, a primeira raiz é
x\approx 1{,}0238.

Passo 7

Agora aplicamos bisseção para a raiz em (3,4). Iterações principais (valores arredondados):
  1. a=3, b=4. g(3)\approx -1{,}854, g(4)\approx 2{,}624.
  2. c=3{,}5. g(3{,}5)\approx -0{,}020 ⇒ raiz em (3{,}5,3{,}6) já que g(3{,}6)>0.
  3. c=3{,}525. g(3{,}525)\approx 0{,}0966 ⇒ raiz em (3{,}5,3{,}525).
  4. c=3{,}5125. g(3{,}5125)\approx 0{,}0339 ⇒ raiz em (3{,}5,3{,}5125).
  5. c=3{,}50625. g(3{,}50625)\approx 0{,}0069 ⇒ raiz em (3{,}5,3{,}50625).
  6. c=3{,}503125. g(3{,}503125)\approx -0{,}0066 ⇒ raiz em (3{,}503125,3{,}50625).
  7. c=3{,}5046875. g(3{,}5046875)\approx -0{,}00024 ⇒ raiz em (3{,}5046875,3{,}50625).
  8. c=3{,}50546875. g(3{,}50546875)\approx 0{,}00332 ⇒ raiz em (3{,}5046875,3{,}50546875).
  9. c=3{,}505078125. g(3{,}505078125)\approx 0{,}00154.
  10. c=3{,}5048828125. g(3{,}5048828125)\approx 0{,}00065.
Após estas iterações temos o intervalo de confiança aproximado (3{,}5046875,\;3{,}5048828125). Tomando aproximação com 4 casas decimais, a segunda raiz é
x\approx 3{,}5048.

Resposta

x\approx 1{,}0238
x\approx 3{,}5048

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