Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede as soluções reais
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
(real). - Há um termo trigonométrico
multiplicado por . - O restante é polinomial em
(um quadrático). - Não há nenhuma outra condição ou restrição.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a equação de modo a isolar tudo num único lado, formando uma função cuja raiz procuramos:
Defina a função
Procuramos os pontos
tais que
.
Explicação didática: juntar tudo em
facilita aplicar teoremas de análise (ex.: Teorema do Valor Intermediário) e métodos numéricos. Aqui
é o polinômio
.
Passo 3
Observação importante sobre o termo trigonométrico: para todo
vale
. Multiplicando por
obtemos
Portanto
é a soma do quadrático
com um termo que está sempre entre
e
. Isso dá limites úteis para
e nos ajuda a localizar mudanças de sinal (onde podem estar raízes).
Passo 4
Usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes: se
então existe pelo menos uma raiz em
. Vamos avaliar
em alguns pontos inteiros para achar trocas de sinal.
Calculemos alguns valores (aqui aparecem aproximações numéricas de
):
Interpretação: há mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
. Há também mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
. Assim esperamos duas raízes reais (pelo menos uma em cada intervalo).]
Passo 5
Escolhemos um método numérico simples e robusto para encontrar as raízes com precisão: o método da bisseção. Explicação do método (didático):
- Se
existe uma raiz em . - Calcula-se
e avalia . - Se
achou-se a raiz; se não, substitui-se o intervalo por ou de modo que o novo intervalo ainda contenha uma mudança de sinal. - Repetir até que o comprimento do intervalo seja menor que a precisão desejada.
Bisseção garante convergência e não exige derivadas.
Passo 6
Aplicamos bisseção para achar a raiz em
. Vou mostrar as iterações principais (arredondei valores de
para 4 casas decimais quando necessário):
-
, . , . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em .
Após estas iterações temos o intervalo de confiança para a raiz: aproximadamente
. Tomando uma aproximação com 4 casas decimais, a primeira raiz é
Passo 7
Agora aplicamos bisseção para a raiz em
. Iterações principais (valores arredondados):
-
, . , . -
. ⇒ raiz em já que . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. ⇒ raiz em . -
. . -
. .
Após estas iterações temos o intervalo de confiança aproximado
. Tomando aproximação com 4 casas decimais, a segunda raiz é