\sqrt[3]{(-3)^{5}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se calcular a expressão \sqrt[3]{(-3)^{5}}.\n
  • Informação dada: a base é -3 e o expoente dentro da raiz cúbica é 5.

Passo 2

Revisão de conceitos úteis (curta e didática):
  • A raiz de índice n pode ser escrita como potência: \sqrt[n]{x} = x^{1/n}. Aqui o índice é 3, então raiz cúbica é potência 1/3.
  • Regra de potências composta: \bigl(x^{a}\bigr)^{b} = x^{ab}.
  • Para expoentes fracionários: x^{m/n} = \sqrt[n]{x^{m}} = \bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{m}.
  • Cuidado com sinal quando a base é negativa: para raízes de índice ímpar (como 3) é permitido ter radicando negativo; a raiz cúbica de um número negativo é negativa: \sqrt[3]{-A} = -\sqrt[3]{A} (para A\ge 0).

Passo 3

Usar as regras para reescrever a expressão em potência fracionária:\n
\sqrt[3]{(-3)^{5}} = \bigl((-3)^{5}\bigr)^{1/3} = (-3)^{5\cdot(1/3)} = (-3)^{5/3}.

Passo 4

Explorar (-3)^{5}. Como 5 é ímpar, vale a propriedade (-a)^{\text{ímpar}} = -a^{\text{ímpar}}íí. Portanto:\n
(-3)^{5} = -\,3^{5}.
Calcular 3^{5}:\n
3^{2}=9,\qquad 3^{3}=27,\qquad 3^{4}=81,\qquad 3^{5}=243.
Logo (-3)^{5} = -243.

Passo 5

Retornar à raiz cúbica com esse resultado:\n
\sqrt[3]{(-3)^{5}} = \sqrt[3]{-243}.
Como a raiz é de índice ímpar, podemos tirar o sinal negativo para fora da raiz:\n
\sqrt[3]{-243} = -\,\sqrt[3]{243}.

Passo 6

Fatorar 243 em potências de 3 para extrair fatores cúbicos:\n
243 = 3^{5} = 3^{3}\cdot 3^{2} = 27\cdot 9.
Usar que \sqrt[3]{3^{3}\cdot 3^{2}} = \sqrt[3]{3^{3}}\cdot\sqrt[3]{3^{2}} = 3\cdot\sqrt[3]{3^{2}}. Portanto:\n
\sqrt[3]{243} = 3\cdot\sqrt[3]{3^{2}} = 3\cdot\sqrt[3]{9}.

Passo 7

Juntando com o sinal negativo da Passo 5:\n
\sqrt[3]{(-3)^{5}} = -\,\sqrt[3]{243} = -\bigl(3\cdot\sqrt[3]{9}\bigr) = -3\sqrt[3]{9}.

Resposta

-3\sqrt[3]{9}

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