Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\left(\frac{81 x}{2}\right)^{1 / 2} \sqrt{\frac{8 x^{3}}{9}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se houver) e racionalizando denominadores. A expressão dada é
\left(\frac{81 x}{2}\right)^{1/2} \sqrt{\frac{8 x^{3}}{9}}.
Informações/condições relevantes que vamos usar (suponha \,x>0 se necessário):
  • Ambas as raízes são raízes quadradas (expoente 1/2).
  • Denominadores não nulos (já dito no enunciado).

Passo 2

Converter cada raiz em potência usando a regra "raiz quadrada = potência 1/2":
\left(\frac{81 x}{2}\right)^{1/2} \sqrt{\frac{8 x^{3}}{9}} = \left(\frac{81 x}{2}\right)^{1/2}\left(\frac{8 x^{3}}{9}\right)^{1/2}.
Regra usada: para números/expressões não-negativas A e B,
A^{1/2}\,B^{1/2}=(AB)^{1/2}.
Podemos, portanto, juntar as duas potências em uma só raiz:
\left(\frac{81 x}{2}\cdot\frac{8 x^{3}}{9}\right)^{1/2}.

Passo 3

Multiplicar as frações dentro da raiz passo a passo. Primeiro os numeradores e denominadores:
\frac{81 x}{2}\cdot\frac{8 x^{3}}{9}=\frac{81\cdot 8\cdot x^{1}\cdot x^{3}}{2\cdot 9}.
Usar a regra de somar expoentes para potências de mesma base:
x^{1}\cdot x^{3}=x^{1+3}=x^{4}.
Logo temos
\frac{81\cdot 8\cdot x^{4}}{2\cdot 9}.

Passo 4

Simplificar os coeficientes numéricos antes de tirar a raiz (é mais rápido e reduz trabalho):
  • Calcular os produtos: 81\cdot 8=648 e 2\cdot 9=18.
  • Simplificar a fração \dfrac{648}{18}. Como 18\cdot 36=648, tem-se \dfrac{648}{18}=36.
Portanto o conteúdo da raiz fica
36\,x^{4},
ou seja a expressão inteira é
(36\,x^{4})^{1/2}.

Passo 5

Agora aplicamos as regras de potência sobre produto e potência de potência:
  • Regra: (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.
  • Regra: (a^{m})^{n}=a^{mn}.
Aplicando a primeira regra:
(36\,x^{4})^{1/2}=36^{1/2}\cdot (x^{4})^{1/2}.
Calcular cada parte:
  • 36^{1/2}=6 porque 6^{2}=36.
  • (x^{4})^{1/2}=x^{4\cdot(1/2)}=x^{2}.
Observação sobre sinal: (x^{4})^{1/2}=\sqrt{x^{4}}=|x^{2}|. Como x^{2}\ge0 para todo x real e o enunciado permite supor x>0, podemos escrever simplesmente x^{2}.
Portanto a expressão simplificada é 6\cdot x^{2}.

Resposta

\;6x^{2}

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