Para os subespaços U e V de R^{3} nos itens abaixo, determine U \cap V e U+V. Indique qual é soma direta.
\quad U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,1,1)].

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
  • U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
  • V=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
O que é pedido:
  • Determinar U\cap V.
  • Determinar U+V.
  • Indicar se a soma é direta (ou seja, verificar se U\cap V=\{(0,0,0)\}).

Passo 2

Entender bem o que significa cada conjunto (lembrando uma definição básica):
  • \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares a_1v_1+\cdots+a_kv_k (com escalares reais). É um subespaço.
    Vou escrever vetores de U e V numa forma paramétrica para facilitar manipular.

Passo 3

Escrever um vetor genérico de U. Se a,b\in\mathbb{R} então
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,\;b,\;a+b).
Portanto
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=x+y\}.
Isto é, U é o plano através da origem dado pela equação z=x+y.

Passo 4

Escrever um vetor genérico de V. Se t\in\mathbb{R} então
t(1,1,1)=(t,\;t,\;t).
Portanto
V=\{(t,t,t)\in\mathbb{R}^3 \mid t\in\mathbb{R}\},
uma reta através da origem (todos os pontos com coordenadas iguais).

Passo 5

Determinar U\cap V: um vetor está na interseção se pode ser escrito tanto como vetor de U quanto de V. Logo, devemos ter números a,b,t tais que
(a,\;b,\;a+b)=(t,\;t,\;t).
Isto dá o sistema de equações (componente a componente):
a=t,\qquad b=t,\qquad a+b=t.
Substituindo a=t e b=t na terceira equação obtemos
t+t=t \quad\Rightarrow\quad 2t=t \quad\Rightarrow\quad t=0.
Logo a=b=0 também. Conclusão: o único vetor que satisfaz é o vetor nulo (0,0,0). Portanto
U\cap V=\{(0,0,0)\}.

Passo 6

Agora determinar U+V. Lembrete: U+V=\{u+v \mid u\in U,\\ v\in V\}. Vou mostrar que qualquer vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como soma de um vetor de U com um vetor de V.
Procuramos a,b,t\in\mathbb{R} tais que
(a,\;b,\;a+b)+t(1,1,1)=(x,\;y,\;z).
Isto dá as equações
a+t=x,\qquad b+t=y,\qquad a+b+t=z.
Das duas primeiras tiramos a=x-t e b=y-t. Substituindo na terceira:
(x-t)+(y-t)+t=z \quad\Rightarrow\quad x+y-t=z.
Isolando t fica
t=x+y-z.
Com esse t definido, obtemos a=x-t e b=y-t. Como x,y,z eram arbitrários, isso fornece sempre valores a,b,t reais que conseguem representar (x,y,z) como soma de um elemento de U e um de V. Portanto todo vetor de \mathbb{R}^3 está em U+V, ou seja
U+V=\mathbb{R}^3.

Passo 7

Uma verificação alternativa (por dimensão) confirma o resultado: \dim U=2 (duas geradoras linearmente independentes), \dim V=1, e \dim(U\cap V)=0. Pela fórmula
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)
segue \dim(U+V)=2+1-0=3, logo U+V é um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^3, ou seja U+V=\mathbb{R}^3.

Passo 8

Soma direta: definição prática — a soma U+V é direta (escrevemos U\oplus V) se e somente se U\cap V=\{(0,0,0)\}. Pelo Passo 5 temos exatamente isso, então a soma é direta. Assim
U\oplus V=\mathbb{R}^3.

Resposta

U\cap V=\{(0,0,0)\}
U+V=\mathbb{R}^3
A soma é direta: sim (portanto U\oplus V=\mathbb{R}^3).

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