Para os subespaços
e
de
nos itens abaixo, determine
e
. Indique qual é soma direta.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços de
:
-
. -
.
O que é pedido:
- Determinar
. - Determinar
. - Indicar se a soma é direta (ou seja, verificar se
).
Passo 2
Entender bem o que significa cada conjunto (lembrando uma definição básica):
-
é o conjunto de todas as combinações lineares (com escalares reais). É um subespaço.
Vou escrever vetores dee numa forma paramétrica para facilitar manipular.
Passo 3
Escrever um vetor genérico de
. Se
então
Portanto
Isto é,
é o plano através da origem dado pela equação
.
Passo 4
Escrever um vetor genérico de
. Se
então
Portanto
uma reta através da origem (todos os pontos com coordenadas iguais).
Passo 5
Determinar
: um vetor está na interseção se pode ser escrito tanto como vetor de
quanto de
. Logo, devemos ter números
tais que
Isto dá o sistema de equações (componente a componente):
Substituindo
e
na terceira equação obtemos
Logo
também. Conclusão: o único vetor que satisfaz é o vetor nulo
. Portanto
Passo 6
Agora determinar
. Lembrete:
. Vou mostrar que qualquer vetor arbitrário
pode ser escrito como soma de um vetor de
com um vetor de
.
Procuramos
tais que
Isto dá as equações
Das duas primeiras tiramos
e
. Substituindo na terceira:
Isolando
fica
Com esse
definido, obtemos
e
. Como
eram arbitrários, isso fornece sempre valores
reais que conseguem representar
como soma de um elemento de
e um de
. Portanto todo vetor de
está em
, ou seja
Passo 7
Uma verificação alternativa (por dimensão) confirma o resultado:
(duas geradoras linearmente independentes),
, e
. Pela fórmula
segue
, logo
é um subespaço de dimensão
em
, ou seja
.
Passo 8
Soma direta: definição prática — a soma
é direta (escrevemos
) se e somente se
. Pelo Passo 5 temos exatamente isso, então a soma é direta. Assim
Resposta
A soma é direta: sim (portanto