A sucessão a_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}} tem o limite l=2. Suponha que \epsilon=\frac{1}{100}. Encontre o valor de N tal que \left|a_{n}-l\right|<\epsilon, para todo n>N.

Passo 1

O enunciado dá a sucessão \displaystyle a_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}} e afirma que o limite é l=2. Pede-se: para \displaystyle \epsilon=\frac{1}{100}, encontrar um valor de N tal que
\left|a_{n}-l\right|<\epsilon
para todo n>N.
Informações relevantes:
  • A sucessão: \displaystyle a_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}}.
  • O limite l dado é \displaystyle l=2.
  • O \epsilon que devemos usar é \displaystyle \epsilon=\frac{1}{100}.
  • Queremos um N (um número inteiro) tal que a desigualdade valha para todo inteiro n>N.

Passo 2

Vamos manipular a expressão de a_{n} para ver claramente a diferença para o limite. Dividindo termos por n^{2},
a_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}}=2+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Isso é só reescrever a sucessão, deixando explícito o termo que tende a zero.

Passo 3

Calculemos a diferença absoluta \left|a_{n}-l\right|. Substituindo l=2 e a expressão de a_{n},
\left|a_{n}-2\right|=\left|\;2+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}-2\;\right|=\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|.
Agora use que \left|(-1)^{n}\right|=1 para todo n. Portanto
\left|a_{n}-2\right|=\frac{1}{n^{2}}.
Explicação curta: \;(-1)^{n} vale +1 ou -1, e o valor absoluto é 1; por isso sobra apenas 1/n^{2}.

Passo 4

Queremos \left|a_{n}-2\right|<\epsilon, ou seja
\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{100}.
Como todos os termos são positivos, podemos inverter e resolver:
n^{2}>100.
Tomando raiz quadrada (com n>0),
n>10.

Passo 5

Interpretando para índices inteiros: a condição n>10 significa que, para todo inteiro n\ge 11, vale \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{100}. Logo qualquer escolha de N tal que N\ge 10 garante que para todo n>N a desigualdade pedida será verdadeira. O menor N inteiro que serve é N=10 (porque então para todo n>10 teremos n\ge 11 e a desigualdade vale).

Resposta

N=10

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