Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde foi dado que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão envolve
e um ponto fixo . - O limite é do tipo
com . - O parâmetro
é positivo ( ), o que garante que está bem definido.
Passo 2
Reconhecer o que esse limite representa (sem resolver ainda).
Quando aparece uma expressão na forma
e tomamos
, isso é exatamente a definição da derivada de
no ponto
:
desde que
seja diferenciável em
. Portanto, se
for diferenciável em
, o limite pedido é simplesmente
. Neste passo não calculamos ainda; só identificamos que o problema pede a derivada de
em
.
Passo 3
Verificar que
é diferenciável para
, em particular em
.
Explicação detalhada e didática:
- Escrever
de uma forma que facilite diferenciar: para podemos usar a exponencial e o logaritmo natural:
- A função
é diferenciável para . A função é produto de funções diferenciáveis para , portanto é diferenciável em . - A exponencial
é diferenciável para todo . A composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Logo é diferenciável em .
Conclusão:é diferenciável em (pois ), então o limite pedido existe e equivale a .
Passo 4
Calcular
de forma passo a passo, ensinando as regras usadas.
Defina
com
. Vamos achar
e então usar a regra da cadeia.
- Derivada de
.
- Aqui usamos a regra do produto: se
e , então . -
e para . - Logo
Explanação: o termo
vem de derivar
e multiplicar por
; o termo
vem de
vezes a derivada de
, que é
, simplificando para
.
- Derivada de
.
- Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é . - Substituindo
e :
- Retornando à forma original
, obtemos
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
para obter o limite pedido.
Pelo que vimos em
Passo 6
Exemplos rápidos para ganhar confiança:
- Se
, então e o limite vale . - Se
, então e o limite vale .