Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{x}-a^{a}}{x-a}, \quad a>0.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{x}-a^{a}}{x-a},
onde foi dado que a>0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve x^{x} e um ponto fixo a.
  • O limite é do tipo \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com f(x)=x^{x}.
  • O parâmetro a é positivo ( a>0), o que garante que \ln a está bem definido.

Passo 2

Reconhecer o que esse limite representa (sem resolver ainda).
Quando aparece uma expressão na forma
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
e tomamos x\to a, isso é exatamente a definição da derivada de f no ponto a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
desde que f seja diferenciável em a. Portanto, se f(x)=x^{x} for diferenciável em a, o limite pedido é simplesmente f'(a). Neste passo não calculamos ainda; só identificamos que o problema pede a derivada de x^{x} em x=a.

Passo 3

Verificar que f(x)=x^{x} é diferenciável para x>0, em particular em x=a.
Explicação detalhada e didática:
  • Escrever x^{x} de uma forma que facilite diferenciar: para x>0 podemos usar a exponencial e o logaritmo natural:
x^{x}=\mathrm{e}^{x\ln x}.
  • A função \ln x é diferenciável para x>0. A função x\mapsto x\ln x é produto de funções diferenciáveis para x>0, portanto é diferenciável em x=a.
  • A exponencial \mathrm{e}^{u} é diferenciável para todo u. A composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Logo \mathrm{e}^{x\ln x} é diferenciável em x=a.
    Conclusão: f(x)=x^{x} é diferenciável em a (pois a>0), então o limite pedido existe e equivale a f'(a).

Passo 4

Calcular f'(x) de forma passo a passo, ensinando as regras usadas.
Defina f(x)=\mathrm{e}^{g(x)} com g(x)=x\ln x. Vamos achar g'(x) e então usar a regra da cadeia.
  1. Derivada de g(x)=x\ln x.
  • Aqui usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\ln x, então (u v)'=u'v+u v'.
  • u'(x)=1 e v'(x)=\dfrac{1}{x} para x>0.
  • Logo
g'(x) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Explanação: o termo \ln x vem de derivar x e multiplicar por \ln x; o termo 1 vem de x vezes a derivada de \ln x, que é 1/x, simplificando para 1.
  1. Derivada de f(x)=\mathrm{e}^{g(x)}.
  • Usamos a regra da cadeia: a derivada de \mathrm{e}^{g(x)} é \mathrm{e}^{g(x)}\cdot g'(x).
  • Substituindo g(x)=x\ln x e g'(x)=\ln x+1:
f'(x)=\mathrm{e}^{x\ln x}\cdot(\ln x+1).
  1. Retornando à forma original x^{x}=\mathrm{e}^{x\ln x}, obtemos
f'(x)=x^{x}\,(\ln x+1).

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x=a para obter o limite pedido.
Pelo que vimos em

Passo 6

\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{x}-a^{a}}{x-a}=f'(a)=a^{a}\,(\ln a+1).
Exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Se a=1, então \ln 1=0 e o limite vale 1^{1}(0+1)=1.
  • Se a=\mathrm{e}, então \ln \mathrm{e}=1 e o limite vale \mathrm{e}^{\mathrm{e}}(1+1)=2\mathrm{e}^{\mathrm{e}}.

Resposta

a^{a}(\ln a + 1)

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