Enunciado: temos a série de potências \sum_{k=0}^{\infty} k!(x-1)^{k}.\n
O que o problema pede (inferido): determinar para quais x essa série converge (conjunto de convergência / raio de convergência) e, se houver pontos de convergência, calcular a soma quando possível.\n
Informações dadas importantes: os coeficientes da série são a_k = k! e a série está centrada em x=1 (isto é, usa (x-1)^k). Não há outras informações adicionais nem figura.
Passo 2
Vamos recordar um teste prático para séries numéricas (o teste da razão) e como ele se aplica a séries de potências.\n
Teste da razão (para uma série de termos u_k\)): se \(\displaystyle L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|\) existe, então\n
\[\begin{cases} \text{se }L<1\text{, a série converge},\\[4pt] \text{se }L>1\text{, a série diverge},\\[4pt] \text{se }L=1\text{, o teste é inconclusivo}. \end{cases}
Aqui vamos aplicar esse teste aos termos u_k = k!(x-1)^k\]. Explico: \(u_k é o k-ésimo termo da série; queremos ver o comportamento do quociente em valor absoluto quando k\to\infty.]
Passo 3
Calculemos o quociente absoluto entre termos consecutivos:
Aqui usei (k+1)! = (k+1)\,k! e cancelei |x-1|^k. Observe que o quociente depende de k e de |x-1|.
Passo 4
Agora vamos tomar o limite quando k\to\infty\):
\[\lim_{k\to\infty} (k+1)\,|x-1| = \begin{cases} 0 & \text{se }|x-1|=0,\\[4pt] \infty & \text{se }|x-1|>0. \end{cases}
Explicando: se |x-1|=0\] (isto é, \(x=1), então cada fator é zero a partir de k grande? Na verdade para o quociente, se |x-1|=0 então (k+1)\,|x-1| = 0 para todo k. Se |x-1|>0, então (k+1)\,|x-1| cresce sem limite porque k+1\to\infty e multiplica um número positivo fixo.]
Passo 5
Aplicando o teste da razão:\n
Se x\neq 1 (ou seja, |x-1|>0), o limite do quociente é +\infty, portanto é maior que 1 e o teste da razão nos diz que a série diverge para qualquer x\neq 1.\n
Se x=1 (ou seja, |x-1|=0), o quociente é 0 e o teste da razão não dá problema: devemos avaliar diretamente a série nesse ponto.
Passo 6
Avaliação no ponto x=1.\n
Para x=1 temos (x-1)^k = 0^k. Lembre que por convenção 0^0=1 quando aparece como o termo k=0 de uma série de potências, e para k\ge 1 temos 0^k=0. Assim os termos da série são:\n
para k=0: 0! (1-1)^0 = 1\cdot 1 = 1,\n
para k\ge 1: k!(1-1)^k = k!\cdot 0 = 0.\n
Portanto a série se reduz a 1+0+0+\cdots = 1, ou seja, converge e sua soma é 1 no ponto x=1.
Passo 7
Comentário alternativo (fórmula do raio de convergência) para reforçar o resultado:\n
Para uma série de potências \sum a_k (x-1)^k existe a relação (quando o limite existe)
Logo R=0, ou seja, o raio de convergência é zero — confirmação de que a série só pode (no máximo) convergir no ponto central x=1. Isso coincide com a conclusão obtida pelo teste da razão.\n
Pequena intuição: os coeficientes k! crescem muito rápido; multiplicados por (x-1)^k não conseguem ser dominados por nenhum fator geométrico exceto quando (x-1)=0.
Resposta
A série converge somente para x=1.\n
Soma no ponto de convergência: 1.