3)Mostre que f(0)=1

Passo 1

O enunciado que você me deu é apenas: "Mostre que f(0)=1". Não há nada mais — não foi dada a expressão de f, nem seu domínio, nem propriedades (continuidade, diferenciabilidade, equação funcional, valores conhecidos, gráfico etc.). As informações relevantes que eu tenho são só essa frase: a conclusão desejada é que f(0)=1.
Informações que faltam e que são necessárias para resolver mesmo um problema tão simples: definição explícita de f ou alguma propriedade que determine f (por exemplo, uma equação funcional como f(x+y)=f(x)f(y), ou uma série de potências que define f, ou que f é a função exponencial, ou valores em pontos distintos, etc.). Sem isso não há como demonstrar a afirmação.

Passo 2

Por que a ausência dessas informações impede resolver? Em matemática uma igualdade sobre uma função (como f(0)=1) só pode ser provada a partir de dados sobre a própria função. Diferentes funções dão diferentes valores em 0: por exemplo, se f(x)=x então f(0)=0; se f(x)=1 então f(0)=1; se f(x)=e^x então f(0)=1. Logo, sem saber qual é f eu não tenho como concluir nada. Dito de outro modo: afirmar que f(0)=1 é uma afirmação sobre a definição ou propriedades de f, então preciso dessas hipóteses.

Passo 3

Para ser útil na sua revisão de prova, vou te mostrar os métodos típicos que aparecem em exercícios quando alguém pede para "mostrar que f(0)=1". Assim você já fica afiado para o que o enunciado real provavelmente tinha. Cada método vem com uma demonstração didática e passo a passo.
Método A — equação funcional multiplicativa (caso mais comum): suponha que a função satisfaça
f(x+y)=f(x)\,f(y)\quad\text{para todo }x,y.
Passo a passo:
  1. Coloque x=0. Então obtemos
f(0+y)=f(0)\,f(y).
  1. Como f(0+y)=f(y), a igualdade vira
f(y)=f(0)\,f(y).
  1. Para qualquer y tal que f(y)\neq 0, podemos dividir por f(y) e obter 1=f(0). Logo f(0)=1.
  2. Há uma outra possibilidade: se f for identicamente nula ( f(y)=0 para todo y), então a igualdade anterior é satisfeita com f(0)=0. Portanto, para concluir f(0)=1 a partir dessa equação funcional é necessário também assumir que f não é a função zero (ou que existe um ponto onde f não é zero), ou assumir continuidade e/ou que f assume algum valor conhecido diferente de 0.
Comentário didático: esse é um argumento muito usado em provas — a chave é testar a equação com 0. Sempre experimente substituir variáveis por 0 quando houver equações funcionais envolvendo adição ou multiplicação de argumentos.

Passo 4

Método B — função dada explicitamente: se o enunciado define f por uma fórmula, a demonstração é direta. Exemplos:
  • Se f(x)=e^{g(x)} para alguma função g e soubermos g(0)=0, então
f(0)=e^{g(0)}=e^{0}=1.
  • Se f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n (série de potências) e o termo constante é a_0=1, então substituindo x=0 obtemos
f(0)=a_0=1.
Passos didáticos: quando a função é dada por fórmula, simplesmente avalie a fórmula em 0 e use propriedades básicas (por exemplo, 0^n=0 para n\ge1, e^0=1, produtos por zero etc.).

Passo 5

Método C — usando derivada/condição diferencial: às vezes a função é definida por uma equação diferencial, por exemplo f'(x)=f(x) e algum outro dado. A solução geral é f(x)=C e^{x} para alguma constante C. Se o problema quer que você mostre f(0)=1, normalmente já terá a condição extra f'(0)=1 ou um valor em outro ponto para determinar C. Exemplo típico:
  1. Resolver f'(x)=f(x) f(x)=C e^{x}.
  2. Se o enunciado diz que f(0)=1, então C=1 — mas note que aqui a igualdade f(0)=1 é uma hipótese, não uma conclusão automática. Portanto, para concluir f(0)=1 a partir de uma EDO precisa haver uma condição extra que fixe C.
Didática: em problemas com EDOs, preste atenção em condições iniciais; elas são o que permitem determinar constantes e, por consequência, obter valores em pontos específicos como x=0.

Passo 6

Resumo e orientação prática para a prova (como agir quando aparecer algo do tipo):
  • Leia o enunciado inteiro procurando por: definição explícita de f, equação funcional, condição de não nulidade, continuidade, valores em pontos, equação diferencial, ou série de potências.
  • Experimente substituir x=0 ou y=0 em equações funcionais — isso geralmente dá o valor em zero.
  • Se f for dada explicitamente, simplesmente avalie em 0.
  • Se faltar informação (como aqui), não invente: escreva que o enunciado é incompleto e liste o que falta. Em prova objetiva normalmente a hipótese que falta estará presente; em prova discursiva você pode expor os dois casos (por exemplo, função identicamente zero vs. função não nula) e concluir de acordo com as hipóteses.

Resposta

Não é possível demonstrar que f(0)=1 porque o enunciado está incompleto: falta a definição de f ou hipóteses sobre f (por exemplo, uma equação funcional, expressão explícita, continuidade e não nulidade, ou valor conhecido em algum ponto).

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