1. \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{k}=\frac{1}{1+x} \quad se \quad|x|<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}
é igual a \tfrac{1}{1+x} quando |x|<1. O conteúdo envolvido é a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Recordamos que uma série geométrica de primeiro termo a e razão r satisfaz, para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty}a\,r^{k}=\frac{a}{1-r}.

Passo 3

Na nossa série temos a=1 e r=-x, pois
(-1)^{k}x^{k}=( -x)^{k}.
Aplicando a fórmula da série geométrica com a=1 e r=-x obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}( -x)^{k} =\frac{1}{1-(-x)}.

Passo 4

Simplificando o denominador vem
\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x},
e a condição de convergência |r|<1 vira \lvert -x\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1.

Resposta

\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k} = \frac{1}{1+x},\quad |x|<1.

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