\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{1+k} x^{k} Passo 1O enunciado pede a soma da série de potências \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{1+k}\,x^{k}. O conteúdo é manipular séries conhecidas para obter uma forma fechada. Vamos usar que \cos(k\pi)=(-1)^{k} e depois relacionar com a série de Taylor de \ln(1+x). Passo 2Substituindo \cos(k\pi)=(-1)^{k}, definimos S(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{1+k}\,x^{k}. Passo 3Para tratar o índice do denominador, mudamos de variável n=k+1. Então, quando k vai de 1 a \infty, n vai de 2 a \infty, e S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1}. Passo 4Separamos essa soma em um termo de n=1 subtraído de uma soma que vai de n=1 a \infty: \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} -\underbrace{\frac{(-1)^{0}}{1}\,x^{0}}_{=1}. Passo 5Observe que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n} =\ln(1+x), portanto \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} =\frac{1}{x}\,\ln(1+x). Subtraindo o termo 1, obtemos S(x)=\frac{1}{x}\,\ln(1+x)-1. Resposta \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{1+k}\,x^{k} =\frac{\ln(1+x)}{x}-1, \quad\text{válido para }|x|<1.á MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{k}=\frac{1}{1+x} \quad se \quad|x|<1 \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{k}=\frac{1}{1+x} \quad se \quad|x|<1 \sum \frac{2 k^{2}+2 k-1}{k^{4}-6 k+10} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \operatorname{senh} k}{3 e^{2 k}}