1. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{1+k} x^{k}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série de potências
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{1+k}\,x^{k}.
O conteúdo é manipular séries conhecidas para obter uma forma fechada. Vamos usar que \cos(k\pi)=(-1)^{k} e depois relacionar com a série de Taylor de \ln(1+x).

Passo 2

Substituindo \cos(k\pi)=(-1)^{k}, definimos
S(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{1+k}\,x^{k}.

Passo 3

Para tratar o índice do denominador, mudamos de variável n=k+1. Então, quando k vai de 1 a \infty, n vai de 2 a \infty, e
S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1}.

Passo 4

Separamos essa soma em um termo de n=1 subtraído de uma soma que vai de n=1 a \infty:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} -\underbrace{\frac{(-1)^{0}}{1}\,x^{0}}_{=1}.

Passo 5

Observe que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n} =\ln(1+x),
portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,x^{\,n-1} =\frac{1}{x}\,\ln(1+x).
Subtraindo o termo 1, obtemos
S(x)=\frac{1}{x}\,\ln(1+x)-1.

Resposta

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{1+k}\,x^{k} =\frac{\ln(1+x)}{x}-1, \quad\text{válido para }|x|<1.á

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