Se sumn=1^+infty an é absolutamente convergente, então são absolutamente convergente as séries:
a) sumn=1^+infty an1+an, (an neq-1)
b) sumn=1^+infty(an)^2
c) sumn=1^+infty an^21+an^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^+infty an que é absolutamente convergente, ou seja, sumn=1^+infty |an| converge. Agora, precisamos mostrar que as séries dadas nos itens a), b) e c) também são absolutamente convergentes. Para isso, vamos usar conceitos de comparação entre séries e propriedades de séries absolutamente convergentes.

Passo 2

Item a) Vamos analisar a série sumn=1^+infty an1+an. Para verificar a convergência absoluta, consideramos sumn=1^+infty |an1+an|. Como an neq -1, o denominador 1 + an não zera. Além disso, se |an| < 1, então |1 + an| >= 1 - |an| >= 12 para |an| < 12. Assim, |an1+an| <= 2|an|. Já que sum |an| converge, por comparação, sum |an1+an| também converge.

Passo 3

Item b) Agora, vamos considerar a série sumn=1^+infty (an)^2. Sabemos que se sum |an| converge, então an to 0. Portanto, (an)^2 tende a zero ainda mais rápido. Além disso, temos |an|^2 <= |an| para |an| <= 1. Como sum |an| converge e |an|^2 é menor ou igual a |an| para termos suficientemente grandes, pela comparação, sum (an)^2 também converge.

Passo 4

Item c) Por fim, analisamos a série sumn=1^+infty an^21+an^2. Observamos que 0 <= an^21+an^2 <= an^2, já que 1 + an^2 >= 1. Já mostramos no item b) que sum an^2 converge. Portanto, pela comparação, a série sum an^21+an^2 também converge.

Resposta

Todas as séries nos itens a), b) e c) são absolutamente convergentes.

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