Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y’’ - y = -11t + 1 $. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente precisa encontrar a solução da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para o lado direito que está igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: $ y’’ - y = 0 $. Para isso, a gente forma a equação característica associada, que é $ r^2 - 1 = 0 $. Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ - y = -11t + 1
-11t + 1$), vamos supor que a solução particular $ y_p $ também seja um polinômio de primeiro grau:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisam ser encontradas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y’_p $ e $ y’’_p $ na equação original:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: