y^prime prime-y=-11 t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y’’ - y = -11t + 1 $. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente precisa encontrar a solução da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para o lado direito que está igual a y'' - y = -11t + 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: $ y’’ - y = 0 $. Para isso, a gente forma a equação característica associada, que é $ r^2 - 1 = 0 $. Resolvendo essa equação quadrática, temos:
y'' - y = 0
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
r^2 - 1 = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ - y = -11t + 1 y'' - y = -11t + 1 éô-11t + 1$), vamos supor que a solução particular $ y_p $ também seja um polinômio de primeiro grau:
-11t + 1
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisam ser encontradas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
yp
y'p = A
Substituindo $ y_p $, $ y’_p $ e $ y’’_p $ na equação original:
y''p = 0
yp

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ t $:
t
Para o termo constante:
- A = -11 implies A = 11
Então, a solução particular é:
- B = 1 implies B = -1

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea com a solução particular:
y = yc + yp = C1 e^t + C2 e^-t + 11t - 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^t + C2 e^-t + 11t - 1

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