( ) Se
e
são divergentes, então
é divergente.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está dizendo. Temos duas séries infinitas,
e
, que são divergentes, ou seja, elas não somam para um número finito. A questão pergunta se, multiplicando termo a termo essas duas séries, a nova série
também será divergente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser divergente ou convergente e como a multiplicação de termos afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente e divergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se não, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar se o fato de duas séries serem divergentes implica que a série formada pelos produtos de seus termos também seja divergente. Para isso, vamos tentar encontrar um exemplo onde duas séries divergentes formam uma série de produtos convergente.
Passo 4
Considere as séries
e
. Cada uma delas é a famosa série harmônica, que sabemos que é divergente. Agora, multiplicando termo a termo, temos:
Então, a nova série é
.
Passo 5
Vamos verificar se a série
converge ou diverge. Sabemos que esta é uma série p, onde
. Para séries p, se
, a série converge. Portanto,
converge.
Resposta
FALSO. Mesmo que
e
sejam divergentes,
pode ser convergente.