Determine as equações dos planos tangente e normal ao gráfico das equações a seguir em cada ponto indicado:
a) 4 x^2 - y^2 + 3 z^2 = 10 ; P(2, -3, 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações dos planos tangente e normal ao gráfico da equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente o vetor gradiente, que nos ajuda a determinar planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Para achar o plano tangente, começamos calculando o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, avaliamos o vetor gradiente no ponto :
Esse vetor é normal ao plano tangente no ponto .

Passo 4

Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a linha normal à superfície no ponto . A linha normal é a direção do vetor gradiente e passa por , podendo ser descrita pelas equações paramétricas:
onde é um parâmetro real.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
A linha normal à superfície no mesmo ponto é descrita pelas equações paramétricas:

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