Determine as equações dos planos tangente e normal ao gráfico das equações a seguir em cada ponto indicado:
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações dos planos tangente e normal ao gráfico da equação
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente o vetor gradiente, que nos ajuda a determinar planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Para achar o plano tangente, começamos calculando o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, avaliamos o vetor gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal ao plano tangente no ponto
.
Passo 4
Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a linha normal à superfície no ponto
. A linha normal é a direção do vetor gradiente e passa por
, podendo ser descrita pelas equações paramétricas:
onde
é um parâmetro real.
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é dado por:
A linha normal à superfície no mesmo ponto é descrita pelas equações paramétricas: