Uma superfície está a 200^{\circ} \mathrm{C}. Aleta cilíndrica de diâmetro 6 mm e comprimento 12 mm é usada. Os arredores estão a 20^{\circ} \mathrm{C}. O coefíciente de convecção é 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A condutividade do material é 13 \mathrm{l} \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Determine o aumento na perda de calor da superficie com a colocação da aleta. Outra proposta é usar aletas de metade do comprimento, mas o diâmetro aumentou para 8 mm . Compare a dissipação de calor para esta proposta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine quanto a perda de calor da superfície aumenta quando se coloca uma aleta cilíndrica e, em seguida, compare essa dissipação se usarmos outra aleta (metade do comprimento, diâmetro maior). Dados fornecidos (vou listar tudo de forma clara):
\begin{aligned} &T_b=200^\circ\mathrm{C},\quad T_\infty=20^\circ\mathrm{C},\quad \Delta T=T_b-T_\infty=180\\ \mathrm{K},\\\ &h=30\\ \mathrm{W/m^2K},\quad k=13\\ \mathrm{W/m\cdot K}. \end{aligned}
Configuração 1 (aleta original):
D_1=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m},\quad L_1=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
Configuração 2 (proposta alternativa):
D_2=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m},\quad L_2=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}.
O que se deve calcular:
  • A perda de calor adicional trazida pela aleta (isto é, quanto a mais a superfície passa a perder de energia após colocar a aleta) — para cada configuração.
  • Comparar as duas configurações.
Observação necessária (decisão usada sem perguntar): vou comparar o calor removido pela aleta inteira Q_{\text{aleta}} com o calor que aquela mesma área de base teria removido se estivesse sem aleta. A “área da superfície” que fica ocupada pela aleta é a seção transversal da aleta na base (área de contato com a superfície), que é A_{\text{base}}=\pi D^2/4. Assim o aumento na perda de calor por aleta é
\Delta Q = Q_{\text{aleta}} - h\,A_{\text{base}}\,\Delta T.

Passo 2

Breve aula prática sobre como modelar uma aleta cilíndrica (muito importante entender cada passo):
  • A aleta cilíndrica tem seção transversal constante e perde calor por convecção na lateral e também pelo topo (ponta). Assumimos regime estacionário e propriedades constantes.
  • A equação diferencial unidimensional para temperatura T(x) ao longo da aleta (coordenada x medida a partir da base, x=0 na base) é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde \theta(x)=T(x)-T_\infty e
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Explicando as letras:
  • P é o perímetro da seção transversal (para um cilindro P=\pi D);
  • A_c é a área da seção transversal (para um cilindro A_c=\pi D^2/4);
  • k é a condutividade térmica do material da aleta;
  • h é o coeficiente de convecção.
  • Para seção circular a expressão se simplifica porque P/A_c = 4/D. Logo
m=\sqrt{\frac{4h}{kD}}.
  • A condição na base é \theta(0)=\Delta T. Na ponta usamos condição de convecção, resultando na expressão conhecida para a taxa de calor retirada pela aleta:
Q_{\text{aleta}} = m k A_c\,\Delta T\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Essa fórmula vem da solução analítica da ODE com as condições apropriadas; não vou repetir a dedução completa (já que é padrão), mas vou usar e explicar cada termo quando calcular.

Passo 3

Dados geométricos e constantes úteis para a Configuração 1 ( D_1,L_1):
\begin{aligned} D_1&=0{,}006\\ \mathrm{m},\quad L_1=0{,}012\\ \mathrm{m},\\\ A_{c1}&=\frac{\pi D_1^2}{4}=\pi\frac{(0{,}006)^2}{4}=\pi\cdot 9{,}0\times 10^{-6}=2{,}827\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},\\\ P_1&=\pi D_1=\pi\cdot 0{,}006. \end{aligned}
Calcular m_1 usando a forma simplificada:
m_1=\sqrt{\frac{4h}{kD_1}}=\sqrt{\frac{4\cdot 30}{13\cdot 0{,}006}}=\sqrt{\frac{120}{0{,}078}}=\sqrt{1538{,}4615}=39{,}23\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calculemos m_1L_1 e a razão h/(m_1 k):
m_1L_1=39{,}23\cdot 0{,}012=0{,}4707,\qquad \frac{h}{m_1k}=\frac{30}{39{,}23\cdot 13}=0{,}05884.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do calor removido pela aleta (configuração 1). Primeiro calcule m_1 k A_{c1}:
m_1 k A_{c1}=39{,}23\cdot 13\cdot 2{,}827\times 10^{-5}=0{,}01440\\ \mathrm{(W/K)}.
Multiplicando por \Delta T=180\\ \mathrm{K} obtemos a constante antes da fração:
m_1 k A_{c1}\,\Delta T=0{,}01440\cdot 180=2{,}592\\ \mathrm{W}.
Agora calculamos as hiperbólicas com m_1L_1=0{,}4707:
\operatorname{sinh}(0{,}4707)=0{,}48745,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}4707)=1{,}11257.
A fração na fórmula é
\frac{\operatorname{sinh}(m_1L_1)+\dfrac{h}{m_1k}\operatorname{cosh}(m_1L_1)}{\operatorname{cosh}(m_1L_1)+\dfrac{h}{m_1k}\operatorname{sinh}(m_1L_1)} =\frac{0{,}48745+0{,}05884\cdot 1{,}11257}{1{,}11257+0{,}05884\cdot 0{,}48745} =\frac{0{,}55299}{1{,}14124}=0{,}4847.
Portanto
Q_{\text{aleta1}}=2{,}592\cdot 0{,}4847=1{,}257\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Agora calculamos quanto essa mesma área de base teria dissipado se NÃO houvesse aleta (convecção simples da superfície ocupada pela base): a área de base é
A_{\text{base1}}=A_{c1}=2{,}827\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Logo
Q_{\text{sem aleta,1}}=h\,A_{\text{base1}}\,\Delta T=30\cdot 2{,}827\times 10^{-5}\cdot 180=0{,}1527\\ \mathrm{W}.
Assim o aumento proporcionado pela aleta 1 é
\Delta Q_1=Q_{\text{aleta1}}-Q_{\text{sem aleta,1}}=1{,}257-0{,}1527=1{,}104\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Repetimos para a Configuração 2 ( D_2=0{,}008\\ \mathrm{m},\\ L_2=0{,}006\\ \mathrm{m}).
Cálculos geométricos:
A_{c2}=\frac{\pi D_2^2}{4}=\pi\frac{(0{,}008)^2}{4}=\pi\cdot 16\times 10^{-6}=5{,}027\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
m_2=\sqrt{\frac{4h}{kD_2}}=\sqrt{\frac{120}{13\cdot 0{,}008}}=\sqrt{\frac{120}{0{,}104}}=\sqrt{1153{,}846}=33{,}97\\ \mathrm{m^{-1}}.
Então
m_2L_2=33{,}97\cdot 0{,}006=0{,}2038,\qquad \frac{h}{m_2k}=\frac{30}{33{,}97\cdot 13}=0{,}06793.

Passo 7

Calcule m_2 k A_{c2} e o termo com \Delta T:
m_2 k A_{c2}=33{,}97\cdot 13\cdot 5{,}027\times 10^{-5}=0{,}02218\\ \mathrm{(W/K)},
m_2 k A_{c2}\,\Delta T=0{,}02218\cdot 180=3{,}993\\ \mathrm{W}.
Calcule as hiperbólicas para m_2L_2=0{,}2038:
\operatorname{sinh}(0{,}2038)=0{,}20515,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}2038)=1{,}02085.
A fração fica
\frac{0{,}20515+0{,}06793\cdot 1{,}02085}{1{,}02085+0{,}06793\cdot 0{,}20515} =\frac{0{,}27453}{1{,}03478}=0{,}26536.
Portanto
Q_{\text{aleta2}}=3{,}993\cdot 0{,}26536=1{,}060\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcule a dissipação que ocorreria sem a aleta na mesma área de base (configuração 2):
Q_{\text{sem aleta,2}}=h\,A_{\text{base2}}\,\Delta T=30\cdot 5{,}027\times 10^{-5}\cdot 180=0{,}2714\\ \mathrm{W}.
Aumento devido à aleta 2:
\Delta Q_2=Q_{\text{aleta2}}-Q_{\text{sem aleta,2}}=1{,}060-0{,}2714=0{,}7886\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Interpretação e comparação (curta e motivadora):
  • A aleta mais longa e mais fina (configuração 1: D=6\\ \mathrm{mm},\\ L=12\\ \mathrm{mm}) adiciona aproximadamente 1{,}10\\ \mathrm{W} de remoção extra comparada à superfície sem aquela aleta.
  • A proposta alternativa (meio comprimento, diâmetro maior) adiciona cerca de 0{,}79\\ \mathrm{W}.
  • Conclusão prática: a configuração 1 dissipa mais calor adicional por aleta do que a configuração 2 (diferença de cerca de 0{,}31\\ \mathrm{W} por aleta). Se você precisa maximizar remoção por aleta, escolha a configuração 1; se houver outras restrições (fabricação, resistência mecânica, arranjo de múltiplas aletas) pode valer a pena reavaliar a estratégia, mas puramente em térmica a 1 é melhor.

Resposta

Q_{\text{aleta1}}=1{,}26\\ \mathrm{W};\\ \Delta Q_1=1{,}10\\ \mathrm{W}\n
Q_{\text{aleta2}}=1{,}06\\ \mathrm{W};\\ \Delta Q_2=0{,}79\\ \mathrm{W}

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