A superfície cilíndrica
possui uma densidade igual a
e a superfície
possui
.
a) Que densidade deve existir na superfície
de modo que a carga total seja nula?
b) Considerando que na superfície
existe uma densidade superficial de cargas tal que a carga total seja nula, determine
para a região definida por 0
e faça o esboço do módulo de
em função de
.
c) Considerando que na superfície
existe uma densidade superficial de cargas igual a
, determine
para a região definida por
e faça o esboço do módulo de
em função de
.
a) Que densidade deve existir na superfície
b) Considerando que na superfície
c) Considerando que na superfície
Passo 1
O enunciado dá três superfícies cilíndricas concêntricas (todas com mesmo eixo) e pede coisas sobre densidade de carga e campo
. Perguntas e dados importantes:
-
Perguntas:
a) Qual densidade superficialna superfície para que a carga total seja nula?
b) Supondo que emexista a densidade encontrada em (a) (ou seja, que zere a carga total), determinar para a região e esboçar em função de .
c) Supondo agora que emexista , determinar para e esboçar em função de . -
Dados (todos extraídos do enunciado):
- Observações que vou usar depois (aqui apenas listei; não resolvo ainda):
- Todas as superfícies são cilíndricas e concêntricas: há simetria cilíndrica.
- Para calcular
usarei uma superfície de Gauss cilindrica coaxial de comprimento arbitrário . - A carga total citada no item (a) é a soma das cargas em todas as três superfícies.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática):
-
Lei de Gauss para o campo deslocamento elétrico
(em regiões sem material com cargas livres): a integral do fluxo de por uma superfície fechada é igual à carga livre interna: Aquié a carga total (livre) contida dentro da superfície de Gauss. -
Escolha da superfície de Gauss: por simetria cilíndrica
só tem componente radial e depende só de . Então tomo um cilindro de raio e comprimento . A área lateral é . As tampas não contribuem porque é radial e ortogonal às tampas. -
Desdobramento prático: para um raio de Gauss
que engloba todas as superfícies com raio menor ou igual a , a integral vira Portanto, a expressão prática que usaremos (vetorial):Observação sobre: cada superfície cilíndrica de raio e densidade tem carga total (para comprimento ) Entãoé a soma das cargas das superfícies com raio . -
Nota didática: por isso,
entre duas superfícies cilíndricas decresce como (porque é constante dentro daquele intervalo), e fora de todas as superfícies depende do somatório total das cargas.
Passo 3
Resolvendo o item (a) — achar
em
tal que a carga total seja nula.
- A condição “carga total nula” significa:
- Escrevendo cada
em termos de e cancelando o fator comum : Substituindo e : - Calculando passo a passo:
Assim:
Portanto
Passo 4
Resolver o item (b): usando
(valor que zera a carga total), determinar
para
.
Vou dividir em intervalos, porque
muda quando a superfície de Gauss atravessa uma camada com carga superficial.
-
Intervalo 1:
. Não há superfícies internas, então. Logo -
Intervalo 2:
. Aqui o único envolvido écom .
Total de carga interna:Aplicando a fórmula: -
Intervalo 3:
. Agora as superfícies internas sãoe . Somando: Logo -
Intervalo 4:
. Aqui estão todas as três superfícies. Pela escolha dea carga total é nula, então -
Observações físicas e sobre descontinuidades:
- Em cada superfície carregada
o campo tem salto normal igual à densidade superficial: Isso bate com as expressões acima (se quiser verificar numericamente, substitua os limites por ). - Em cada intervalo interior
antiproporcional a (comportamento ) porque é constante nesse intervalo.
- Em cada superfície carregada
Passo 5
Esboço qualitativo de
em função de
para o caso (b):
- Para
: . - Para
: , que é uma curva decrescente do tipo ; por exemplo, em temos . - Em
há uma descontinuidade (salto) até a curva . - Para
: , também decrescente (maior que o ramo anterior). - Para
até : .
Ou seja: começa em zero, salta para uma curva
no intervalo médio, salta para
num intervalo curto, e volta a zero fora de todas as superfícies.
Passo 6
Resolver o item (c): agora
. Determinar
em
.
Novamente vamos por intervalos.
-
Intervalo 1:
. Nenhuma carga interna:. -
Intervalo 2:
. Só a superfícieconta: -
Intervalo 3:
. Superfícies internas:e com : Logo -
Intervalo 4:
. Todas as três superfícies: soma das cargas internasAssimO sinal negativo indica queaponta na direção (ou seja, para dentro), pois a carga total interna é negativa. -
Observação sobre descontinuidades: em
, , há saltos de conforme a densidade de cada superfície.
Passo 7
Esboço qualitativo de
em função de
para o caso (c):
-
: . -
: (decrescente). -
: (decrescente, e bem menor que o ramo anterior). -
: (decrescente), porque ali tem magnitude mas aponta para dentro (sinal negativo na expressão vetorial).
Resposta
(a)
.
(b)
(c)