A superfície cilíndrica \rho=0,2 \mathrm{~m} possui uma densidade igual a 50 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e a superfície \rho=0,5 \mathrm{~m} possui -40 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
a) Que densidade deve existir na superfície \rho=0,4 \mathrm{~m} de modo que a carga total seja nula?
b) Considerando que na superfície \rho=0,4 \mathrm{~m} existe uma densidade superficial de cargas tal que a carga total seja nula, determine \mathbf{D} para a região definida por 0 \leq \rho \leq 0,7 e faça o esboço do módulo de \mathbf{D} em função de \rho.
c) Considerando que na superfície \rho=0,4 \mathrm{~m} existe uma densidade superficial de cargas igual a -20 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, determine \mathbf{D} para a região definida por 0 \leq \rho \leq 0,7 e faça o esboço do módulo de \mathbf{D} em função de \rho.

Passo 1

O enunciado dá três superfícies cilíndricas concêntricas (todas com mesmo eixo) e pede coisas sobre densidade de carga e campo \mathbf{D}. Perguntas e dados importantes:
  • Perguntas:
    a) Qual densidade superficial \sigma na superfície \rho=0,4\\ \mathrm{m} para que a carga total seja nula?
    b) Supondo que em \rho=0,4\\ \mathrm{m} exista a densidade encontrada em (a) (ou seja, que zere a carga total), determinar \mathbf{D} para a região 0\le \rho \le 0,7\\ \mathrm{m} e esboçar |\mathbf{D}| em função de \rho.
    c) Supondo agora que em \rho=0,4\\ \mathrm{m} exista \sigma=-20\\ \mathrm{C/m^2}, determinar \mathbf{D} para 0\le \rho \le 0,7\\ \mathrm{m} e esboçar |\mathbf{D}| em função de \rho.
  • Dados (todos extraídos do enunciado):
    \sigma_{0,2}=50\\ \mathrm{C/m^{2}}\quad\text{na superfície }\rho=0{,}2\\ \mathrm{m},í
\sigma_{0,5}=-40\\ \mathrm{C/m^{2}}\quad\text{na superfície }\rho=0{,}5\\ \mathrm{m},í
\sigma_{0,4}=\text{desconhecida (caso a) / conhecida dependendo do item)}.
  • Observações que vou usar depois (aqui apenas listei; não resolvo ainda):
    • Todas as superfícies são cilíndricas e concêntricas: há simetria cilíndrica.
    • Para calcular \mathbf{D} usarei uma superfície de Gauss cilindrica coaxial de comprimento arbitrário L.
    • A carga total citada no item (a) é a soma das cargas em todas as três superfícies.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática):
  • Lei de Gauss para o campo deslocamento elétrico \mathbf{D} (em regiões sem material com cargas livres): a integral do fluxo de \mathbf{D} por uma superfície fechada é igual à carga livre interna:
    \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{free,enc}}.
    Aqui Q_{\text{free,enc}} é a carga total (livre) contida dentro da superfície de Gauss.
  • Escolha da superfície de Gauss: por simetria cilíndrica \mathbf{D} só tem componente radial \hat{\boldsymbol{\rho}} e depende só de \rho. Então tomo um cilindro de raio \rho e comprimento L. A área lateral é A_{\text{lateral}}=2\pi\rho L. As tampas não contribuem porque \mathbf{D} é radial e ortogonal às tampas.
  • Desdobramento prático: para um raio de Gauss \rho que engloba todas as superfícies com raio menor ou igual a \rho, a integral vira
    D(\rho)\, (2\pi \rho L)=Q_{\text{enc}}.
    Portanto, a expressão prática que usaremos (vetorial):
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi \rho L}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
    Observação sobre Q_{\text{enc}}: cada superfície cilíndrica de raio a e densidade \sigma_a tem carga total (para comprimento L)
    Q_a=\sigma_a\cdot(2\pi a L).
    Então Q_{\text{enc}} é a soma das cargas Q_a das superfícies com raio \le \rho.
  • Nota didática: por isso, \mathbf{D} entre duas superfícies cilíndricas decresce como 1/\rho (porque Q_{\text{enc}} é constante dentro daquele intervalo), e fora de todas as superfícies \mathbf{D} depende do somatório total das cargas.

Passo 3

Resolvendo o item (a) — achar \sigma em \rho=0{,}4\\ \mathrm{m} tal que a carga total seja nula.
  • A condição “carga total nula” significa: Q_{0{,}2}+Q_{0{,}4}+Q_{0{,}5}=0.
  • Escrevendo cada Q em termos de \sigma e cancelando o fator comum 2\pi L: 0{,}2\,\sigma_{0{,}2}+0{,}4\,\sigma_{0{,}4}+0{,}5\,\sigma_{0{,}5}=0.Substituindo \sigma_{0{,}2}=50 e \sigma_{0{,}5}=-40: 0{,}2\cdot 50 + 0{,}4\cdot \sigma_{0{,}4} + 0{,}5\cdot(-40)=0.
  • Calculando passo a passo: 0{,}2\cdot 50 = 10,
0{,}5\cdot(-40) = -20.
Assim:
10 + 0{,}4\,\sigma_{0{,}4} -20 =0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}4\,\sigma_{0{,}4}=10.
Portanto
\sigma_{0{,}4}=\frac{10}{0{,}4}=25\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 4

Resolver o item (b): usando \sigma_{0{,}4}=25\\ \mathrm{C/m^{2}} (valor que zera a carga total), determinar \mathbf{D} para 0\le \rho \le 0{,}7\\ \mathrm{m}.
Vou dividir em intervalos, porque Q_{\text{enc}} muda quando a superfície de Gauss atravessa uma camada com carga superficial.
  • Intervalo 1: 0\le \rho<0{,}2\\ \mathrm{m}.
    Não há superfícies internas, então Q_{\text{enc}}=0. Logo
    \mathbf{D}=0\quad\text{para }0\le \rho<0{,}2.
  • Intervalo 2: 0{,}2<\rho<0{,}4\\ \mathrm{m}.
    Aqui o único envolvido é \rho=0{,}2 com \sigma_{0{,}2}=50.
    Total de carga interna:
    Q_{\text{enc}}=2\pi L\cdot(0{,}2\cdot 50)=2\pi L\cdot 10.
    Aplicando a fórmula:
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{2\pi L\cdot 10}{2\pi \rho L}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\frac{10}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Intervalo 3: 0{,}4<\rho<0{,}5\\ \mathrm{m}.
    Agora as superfícies internas são \rho=0{,}2 e \rho=0{,}4. Somando:
    Q_{\text{enc}}=2\pi L\big(0{,}2\cdot 50 + 0{,}4\cdot 25\big)=2\pi L(10+10)=2\pi L\cdot 20.
    Logo
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{20}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Intervalo 4: 0{,}5<\rho\le 0{,}7\\ \mathrm{m}.
    Aqui estão todas as três superfícies. Pela escolha de \sigma_{0{,}4} a carga total é nula, então
    Q_{\text{enc}}=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{D}=0\quad\text{para }0{,}5<\rho\le 0{,}7.
  • Observações físicas e sobre descontinuidades:
    • Em cada superfície carregada \rho=a o campo \mathbf{D} tem salto normal igual à densidade superficial: \hat{\boldsymbol{\rho}}\cdot\big(\mathbf{D}^{\text{fora}}-\mathbf{D}^{\text{dentro}}\big)=\sigma_a.Isso bate com as expressões acima (se quiser verificar numericamente, substitua os limites por \rho\to a^\pm).
    • Em cada intervalo interior \mathbf{D} antiproporcional a \rho (comportamento 1/\rho) porque Q_{\text{enc}} é constante nesse intervalo.

Passo 5

Esboço qualitativo de |\mathbf{D}| em função de \rho para o caso (b):
  • Para 0\le\rho<0{,}2: |\mathbf{D}|=0.
  • Para 0{,}2<\rho<0{,}4: |\mathbf{D}|=10/\rho, que é uma curva decrescente do tipo 1/\rho; por exemplo, em \rho=0{,}25 temos |\mathbf{D}|=10/0{,}25=40.
  • Em \rho=0{,}4 há uma descontinuidade (salto) até a curva 20/\rho.
  • Para 0{,}4<\rho<0{,}5: |\mathbf{D}|=20/\rho, também decrescente (maior que o ramo anterior).
  • Para \rho>0{,}5 até 0{,}7: |\mathbf{D}|=0.
Ou seja: começa em zero, salta para uma curva 10/\rho no intervalo médio, salta para 20/\rho num intervalo curto, e volta a zero fora de todas as superfícies.

Passo 6

Resolver o item (c): agora \sigma_{0{,}4}=-20\\ \mathrm{C/m^{2}}. Determinar \mathbf{D} em 0\le \rho\le 0{,}7.
Novamente vamos por intervalos.
  • Intervalo 1: 0\le \rho<0{,}2.
    Nenhuma carga interna: \mathbf{D}=0.
  • Intervalo 2: 0{,}2<\rho<0{,}4.
    Só a superfície \rho=0{,}2 conta:
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{2\pi L\cdot(0{,}2\cdot50)}{2\pi \rho L}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\frac{10}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Intervalo 3: 0{,}4<\rho<0{,}5.
    Superfícies internas: \rho=0{,}2 e \rho=0{,}4 com \sigma_{0{,}4}=-20:
    Q_{\text{enc}}=2\pi L\big(0{,}2\cdot50 + 0{,}4\cdot(-20)\big)=2\pi L(10 -8)=2\pi L\cdot 2.
    Logo
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{2}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Intervalo 4: 0{,}5<\rho\le 0{,}7.
    Todas as três superfícies: soma das cargas internas
    Q_{\text{enc}}=2\pi L\big(0{,}2\cdot50 + 0{,}4\cdot(-20) + 0{,}5\cdot(-40)\big)=2\pi L(10-8-20)=2\pi L(-18).
    Assim
    \mathbf{D}(\rho)=\frac{-18}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
    O sinal negativo indica que \mathbf{D} aponta na direção -\hat{\boldsymbol{\rho}} (ou seja, para dentro), pois a carga total interna é negativa.
  • Observação sobre descontinuidades: em \rho=0{,}2, \rho=0{,}4, \rho=0{,}5 há saltos de \mathbf{D} conforme a densidade \sigma de cada superfície.

Passo 7

Esboço qualitativo de |\mathbf{D}| em função de \rho para o caso (c):
  • 0\le\rho<0{,}2: |\mathbf{D}|=0.
  • 0{,}2<\rho<0{,}4: |\mathbf{D}|=10/\rho (decrescente).
  • 0{,}4<\rho<0{,}5: |\mathbf{D}|=2/\rho (decrescente, e bem menor que o ramo anterior).
  • 0{,}5<\rho\le0{,}7: |\mathbf{D}|=18/\rho (decrescente), porque \mathbf{D} ali tem magnitude 18/\rho mas aponta para dentro (sinal negativo na expressão vetorial).

Resposta

(a) \displaystyle \sigma_{0{,}4}=25\\ \mathrm{C/m^{2}}.
(b) \displaystyle \mathbf{D}(\rho)=0\quad\text{para }0\le\rho<0{,}2.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\dfrac{10}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }0{,}2<\rho<0{,}4.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\dfrac{20}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }0{,}4<\rho<0{,}5.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=0\quad\text{para }0{,}5<\rho\le 0{,}7.
(c) \displaystyle \mathbf{D}(\rho)=0\quad\text{para }0\le\rho<0{,}2.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\dfrac{10}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }0{,}2<\rho<0{,}4.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\dfrac{2}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }0{,}4<\rho<0{,}5.
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=-\dfrac{18}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{para }0{,}5<\rho\le 0{,}7.

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