A superfície plana \mathrm{z}=0,5 está carregada superficialmente \operatorname{com} \rho_{s}=2 x^{2}+5 y \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, apenas na região definida por -1 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 2, estando neutra no restante. Quantas linhas de força atravessam a superfície cúbica definida por |x|,|y| e|z| \leq 1 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para não nos perdermos):\n
  • Há uma superfície plana localizada em \mathrm{z}=0{,}5 que possui densidade superficial de carga \rho_{s}(x,y)=2x^{2}+5y (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).\n
  • Essa distribuição de carga existe apenas na região limitada por -1\le x\le 1 e 0\le y\le 2; fora dessa região a superfície é neutra (sem carga).\n
  • Queremos saber “quantas linhas de força atravessam a superfície cúbica” definida por |x|\le1,\;|y|\le1,\;|z|\le1.\n
    Observações importantes extraídas do enunciado: a placa está em z=0{,}5 (ou seja, dentro da faixa -1\le z\le 1 do cubo), mas parte da placa em y>1 está fora do interior do cubo. Precisamos identificar qual porção da placa está dentro do cubo e então calcular a quantidade de linhas de força que atravessam a superfície fechada do cubo.

Passo 2

Entendendo o que significa “linhas de força atravessam a superfície cúbica” e qual é o método certo:\n
  • Em eletrostática, o número de linhas de força que atravessam uma superfície fechada é proporcional ao fluxo elétrico total \Phi através dessa superfície.\n
  • O teorema que relaciona carga e fluxo é a Lei de Gauss para o campo elétrico: o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica líquida contida no volume dividido por \epsilon_{0}. Escrevendo em fórmula:\n
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}}\n
onde \Phi é o fluxo (número de linhas de força, em unidades de fluxo), Q_{\text{enc}} é a carga total encerrada dentro do cubo e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo.\n
  • Logo: para achar quantas linhas atravessam o cubo, basta calcular a carga total contida no interior do cubo (apenas o que está dentro) e dividir por \epsilon_{0}. Cargas fora do cubo não alteram o fluxo líquido total através do cubo.

Passo 3

Determinar a região da placa que está realmente dentro do cubo (essa é a região que contribui para Q_{\text{enc}}):\n
  • A placa cobre -1\le x\le 1 e 0\le y\le 2 em z=0{,}5.\n
  • O cubo tem x\in[-1,1], y\in[-1,1], z\in[-1,1].\n
  • A interseção entre a placa e o interior do cubo em y é 0\le y\le 1 (porque a placa vai até y=2, mas o cubo só até y=1). Em x a interseção é completa: -1\le x\le 1. Em z a placa está em z=0{,}5, que está dentro do cubo.\n
    Portanto, somente a porção retangular da placa com x\in[-1,1] e y\in[0,1] está dentro do cubo e contribui para Q_{\text{enc}}.

Passo 4

Escrever a expressão para a carga total encerrada Q_{\text{enc}} como integral da densidade superficial sobre a área do retângulo interno:\n
  • A densidade superficial é \rho_{s}(x,y)=2x^{2}+5y.\n
  • O elemento de área na placa é dA = dx\,dy.\n
    Logo:
Q_{\text{enc}}=\iint_{\text{retângulo}} \rho_{s}(x,y)\,dA =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{1}\bigl(2x^{2}+5y\bigr)\,dy\,dx.â
Aqui expliquei cada símbolo: x e y são as coordenadas na placa; dx\,dy é um pedaço infinitesimal da área; os limites são os do retângulo dentro do cubo.

Passo 5

Calcular a integral duplamente, primeiro em y (interno) depois em x (externo). Faço passo a passo para você conseguir acompanhar e repetir na prova.\n
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1}\bigl(2x^{2}+5y\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}2x^{2}\,dy + \int_{0}^{1}5y\,dy.
  • Como 2x^{2} não depende de y, \int_{0}^{1}2x^{2}\,dy = 2x^{2}\cdot(1-0)=2x^{2}.\n
  • Para \int_{0}^{1}5y\,dy, usamos \int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2}, logo \int_{0}^{1}5y\,dy = 5\cdot \tfrac{1}{2}(1^{2}-0)=\tfrac{5}{2}=2{,}5.\n
    Somando:
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}+5y\bigr)\,dy = 2x^{2} + 2{,}5.

Passo 6

Agora integramos em x:
Q_{\text{enc}}=\int_{x=-1}^{1}\bigl(2x^{2}+2{,}5\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx + \int_{-1}^{1}2{,}5\,dx.
Calcule cada termo separadamente:\n
  • \displaystyle \int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx = 2\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx. Sabemos que \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{3}(1^{3}-(-1)^{3})=\tfrac{1}{3}(1-(-1))=\tfrac{2}{3}. Então \displaystyle \int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx = 2\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.\n
  • \displaystyle \int_{-1}^{1}2{,}5\,dx = 2{,}5\cdot (1-(-1))=2{,}5\cdot 2=5.\n
    Somando os dois termos:
Q_{\text{enc}}=\frac{4}{3}+5=\frac{4}{3}+\frac{15}{3}=\frac{19}{3}\\ \text{C}.

Passo 7

Usar a Lei de Gauss para obter o fluxo (número de linhas de força) através da superfície fechada do cubo:\n
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}}=\frac{\,\dfrac{19}{3}\,}{\epsilon_{0}}=\frac{19}{3\epsilon_{0}}.
Se você quiser um valor numérico aproximado, usando \epsilon_{0}\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}, tem
\Phi\approx \frac{19}{3\cdot 8{,}85\times10^{-12}}\approx 7{,}16\times10^{11}.
Mas a forma exata simbólica \dfrac{19}{3\epsilon_{0}} é a resposta mais limpa e usual em provas.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{19}{3\epsilon_{0}}

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