A superfície plana
está carregada superficialmente
, apenas na região definida por
e
, estando neutra no restante. Quantas linhas de força atravessam a superfície cúbica definida por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para não nos perdermos):\n
- Há uma superfície plana localizada em
que possui densidade superficial de carga (unidade ).\n - Essa distribuição de carga existe apenas na região limitada por
e ; fora dessa região a superfície é neutra (sem carga).\n - Queremos saber “quantas linhas de força atravessam a superfície cúbica” definida por
.\n
Observações importantes extraídas do enunciado: a placa está em(ou seja, dentro da faixa do cubo), mas parte da placa em está fora do interior do cubo. Precisamos identificar qual porção da placa está dentro do cubo e então calcular a quantidade de linhas de força que atravessam a superfície fechada do cubo.
Passo 2
Entendendo o que significa “linhas de força atravessam a superfície cúbica” e qual é o método certo:\n
- Em eletrostática, o número de linhas de força que atravessam uma superfície fechada é proporcional ao fluxo elétrico total
através dessa superfície.\n - O teorema que relaciona carga e fluxo é a Lei de Gauss para o campo elétrico: o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica líquida contida no volume dividido por
. Escrevendo em fórmula:\n
onde
é o fluxo (número de linhas de força, em unidades de fluxo),
é a carga total encerrada dentro do cubo e
é a permissividade do vácuo.\n
- Logo: para achar quantas linhas atravessam o cubo, basta calcular a carga total contida no interior do cubo (apenas o que está dentro) e dividir por
. Cargas fora do cubo não alteram o fluxo líquido total através do cubo.
Passo 3
Determinar a região da placa que está realmente dentro do cubo (essa é a região que contribui para
):\n
- A placa cobre
e em .\n - O cubo tem
, , .\n - A interseção entre a placa e o interior do cubo em
é (porque a placa vai até , mas o cubo só até ). Em a interseção é completa: . Em a placa está em , que está dentro do cubo.\n
Portanto, somente a porção retangular da placa come está dentro do cubo e contribui para .
Passo 4
Escrever a expressão para a carga total encerrada
como integral da densidade superficial sobre a área do retângulo interno:\n
- A densidade superficial é
.\n - O elemento de área na placa é
.\n
Logo:
Aqui expliquei cada símbolo:
e
são as coordenadas na placa;
é um pedaço infinitesimal da área; os limites são os do retângulo dentro do cubo.
Passo 5
Calcular a integral duplamente, primeiro em
(interno) depois em
(externo). Faço passo a passo para você conseguir acompanhar e repetir na prova.\n
Calcule a integral interna em :
Calcule a integral interna em
- Como
não depende de , \n - Para
, usamos , logo \n
Somando:
Passo 6
Agora integramos em
:
Calcule cada termo separadamente:\n
-
Sabemos que Então \n -
\n
Somando os dois termos:
Passo 7
Usar a Lei de Gauss para obter o fluxo (número de linhas de força) através da superfície fechada do cubo:\n
Se você quiser um valor numérico aproximado, usando
, tem
Mas a forma exata simbólica
é a resposta mais limpa e usual em provas.