Dado o campo boldsymbol{D}=(2 x+1) y^{2} \hat{a}_{x}+2 x y(x+ 1) \hat{a}_{y} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, determine o fluxo que atravessa as seguintes superfícies:
\mathrm{x}=5,-2 \leq \mathrm{y} \leq 2,-2 \leq \mathrm{z} \leq 2;

Passo 1

O enunciado dá o campo e pede o fluxo através da superfície plana:
\mathbf{D}=(2x+1)y^{2}\,\hat{a}_{x}+2xy(x+1)\,\hat{a}_{y}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}
A superfície é a placa em \mathrm{x}=5 com -2\leq \mathrm{y}\leq 2 e -2\leq \mathrm{z}\leq 2.
A pergunta é: qual é o fluxo de \mathbf{D} através dessa superfície?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: o fluxo de um campo vetorial \mathbf{D} através de uma superfície S é dado por
\Phi=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S},
onde d\mathbf{S}=\hat{n}\,dS é o vetor área elementar, com \hat{n} a unidade normal da superfície e dS a área elementar escalar.
Para uma superfície plana dada por \mathrm{x}= constante, a unidade normal é \pm\hat{a}_{x} e a área elementar é dS=dydz.
Aqui vou tomar a normal no sentido positivo de x, isto é \hat{n}=\hat{a}_{x}. (Se alguém escolher a normal no sentido contrário, o fluxo muda apenas de sinal.)

Passo 3

Calcule o produto escalar \mathbf{D}\cdot\hat{a}_{x}. Apenas a componente em x contribui:
\mathbf{D}\cdot\hat{a}_{x}=(2x+1)y^{2}.
Na superfície \mathrm{x}=5 substituímos x=5:
\mathbf{D}\cdot\hat{a}_{x}\big|_{x=5}=(2\cdot5+1)y^{2}=11y^{2}.

Passo 4

Escrevemos a integral dupla do fluxo sobre o retângulo em y e z:
\Phi=\int_{y=-2}^{2}\int_{z=-2}^{2} \big(\mathbf{D}\cdot\hat{a}_{x}\big|_{x=5}\big)\,dz\,dy =\int_{y=-2}^{2}\int_{z=-2}^{2} 11y^{2}\,dz\,dy.
Explicação: aqui dS=dydz e o integrando não depende de z, apenas de y.

Passo 5

Integramos primeiro em z. Como 11y^{2} é constante em z,
\int_{z=-2}^{2}11y^{2}\,dz = 11y^{2}\cdot\big(2-(-2)\big)=11y^{2}\cdot 4=44y^{2}.
Agora integramos em y:
\Phi=\int_{y=-2}^{2}44y^{2}\,dy = 44\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy.
Observação didática: y^{2} é função par, então \int_{-2}^{2}y^{2}\,dy = 2\int_{0}^{2}y^{2}\,dy. Calculando:
\int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3},
portanto
\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Multiplicando:
\Phi = 44\cdot\frac{16}{3}=\frac{44\cdot16}{3}=\frac{704}{3}.
Unidade: como \mathbf{D} está em \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e integramos sobre área, o fluxo tem dimensões de \mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle \frac{704}{3}\\ \mathrm{C}

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