1. Superfície cônica Encontre o centroide da superfície lateral de um cone sólido de base com raio a e altura h (superfície do cone menos a base).

Passo 1

O enunciado pede o centroide da superfície lateral de um cone reto de raio da base a e altura h (sem a base). Vamos colocar o vértice do cone em z=h e o círculo da base no plano z=0. Para qualquer superfície S com área A, o centroide tem coordenadas
\bar x=\frac1A\iint_S x\,dA,\quad \bar y=\frac1A\iint_S y\,dA,\quad \bar z=\frac1A\iint_S z\,dA.
Por simetria em torno do eixo z, basta achar \bar z; teremos \bar x=\bar y=0.

Passo 2

Em um nível de altura z 0\le z\le h, a circunferência da superfície lateral tem raio
r(z)=a\Bigl(1-\frac zh\Bigr)
e comprimento 2\pi\,r(z). A “espessura” dessa faixa medida ao longo da geratriz vale
ds=\sqrt{1+\Bigl(\frac{dr}{dz}\Bigr)^2}\,dz =\sqrt{1+\Bigl(-\frac ah\Bigr)^2}\,dz =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{h}\,dz.
Logo, o elemento de área é
dA = 2\pi\,r(z)\,ds =2\pi\,a\Bigl(1-\frac zh\Bigr)\,\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{h}\,dz.

Passo 3

Calcular a área lateral total A:
A=\int_{0}^{h}dA =\frac{2\pi a\sqrt{a^2+h^2}}{h} \int_{0}^{h}\Bigl(1-\frac zh\Bigr)dz =\frac{2\pi a\sqrt{a^2+h^2}}{h}\,\Bigl[h-\tfrac h2\Bigr] =\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}.

Passo 4

Calcular o momento em relação ao plano z=0:
\int_{S}z\,dA =\int_{0}^{h} z\; 2\pi\,a\Bigl(1-\frac zh\Bigr)\,\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{h}\,dz =\frac{2\pi a\sqrt{a^2+h^2}}{h} \int_{0}^{h}\Bigl(z-\frac{z^2}{h}\Bigr)dz.
Como
\int_{0}^{h}\Bigl(z-\frac{z^2}{h}\Bigr)dz =\frac{h^2}{2}-\frac{h^2}{3} =\frac{h^2}{6},
segue
\int_{S}z\,dA =\frac{2\pi a\sqrt{a^2+h^2}}{h}\,\frac{h^2}{6} =\frac{\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}\;h}{3}.

Passo 5

O valor de \bar z é o momento dividido pela área:
\bar z =\frac{\displaystyle\int_{S}z\,dA}{A} =\frac{\displaystyle\frac{\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}\;h}{3}} {\displaystyle\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}} =\frac{h}{3}.

Resposta

O centroide da superfície lateral do cone está no eixo z, a uma distância
\bar x=0,\quad \bar y=0,\quad \bar z=\frac{h}{3}
do plano da base.

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