1. Lata cilíndrica \mathbf{F}=\left(6 x^{2}+2 x y\right) \mathbf{i}+\left(2 y+x^{2} z\right) \mathbf{j}+4 x^{2} y^{3} \mathbf{k}
    D : A região cortada do primeiro octante pelo cilindro x^{2}+ y^{2}=4 e pelo plano z=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}=(6x^{2}+2xy)\,\mathbf{i}+(2y+x^{2}z)\,\mathbf{j}+4x^{2}y^{3}\,\mathbf{k}
através da superfície fechada de D, sendo D a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelo plano z=3.
Para resolver vamos usar o Teorema da Divergência, que diz:
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(6x^{2}+2xy) +\frac{\partial}{\partial y}(2y+x^{2}z) +\frac{\partial}{\partial z}(4x^{2}y^{3}).
Logo,
\nabla\cdot\mathbf{F} =(12x+2y)+(2)+(0) =12x+2y+2.

Passo 3

Expressamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz,
com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, 0\le z\le3.
A integral fica
\iiint_{D}(12x+2y+2)\,dV =\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(12r\cos\theta+2r\sin\theta+2\bigr)\,r\,d\theta\,dr\,dz.

Passo 4

Integramos primeiro em z, que só aparece como limite:
\int_{0}^{3}dz =3,
ficando
3\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl(12r\cos\theta+2r\sin\theta+2\bigr)r\,d\theta\,dr.

Passo 5

Integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}12r^{2}\cos\theta\,d\theta =12r^{2}\cdot1, \quad \int_{0}^{\pi/2}2r^{2}\sin\theta\,d\theta =2r^{2}\cdot1, \quad \int_{0}^{\pi/2}2r\,d\theta =2r\cdot\frac{\pi}{2}=r\pi.
Assim o integrando em r é 12r^{2}+2r^{2}+r\pi=14r^{2}+r\pi, e a integral geral vale
3\int_{0}^{2}(14r^{2}+r\pi)\,dr.

Passo 6

Integramos em r:
\int_{0}^{2}14r^{2}\,dr =14\cdot\frac{2^{3}}{3}=\frac{112}{3}, \quad \int_{0}^{2}r\pi\,dr =\pi\cdot\frac{2^{2}}{2}=2\pi.
Somando e multiplicando por 3:
3\Bigl(\frac{112}{3}+2\pi\Bigr) =112+6\pi.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através da superfície de D é
112+6\pi.

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