Em uma superfície curva submersa em um fluido em repouso, a componente horizontal da força hidrostática resultante é igual à força hidrostática exercida sobre:
(a) A área real da superfície curva.
(b) A projeção horizontal da superfície curva.
(c) A projeção vertical da superfície curva.
(d) O volume de fluido acima da superfície.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície curva submersa em um fluido em repouso e pergunta: a componente horizontal da força hidrostática resultante sobre essa superfície é igual à força hidrostática exercida sobre qual das opções abaixo?
  • (a) A área real da superfície curva.
  • (b) A projeção horizontal da superfície curva.
  • (c) A projeção vertical da superfície curva.
  • (d) O volume de fluido acima da superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é curva e está totalmente submersa.
  • O fluido está em repouso (situação de hidrostática).
  • Quer-se comparar a componente horizontal da força resultante com forças aplicadas sobre áreas ou volumes relacionados à superfície.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (aula rápida e sem medo):
  • Em repouso, a pressão hidrostática em profundidade h é dada por
p=\rho g h,
onde \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade vertical do ponto considerado. Então a pressão depende só da profundidade vertical, não da inclinação da superfície.
  • A força sobre um pequeno elemento de área plana dA da superfície é a pressão vezes a área:
d\mathbf{F} = -p\,\mathbf{n}\,dA,
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície (o sinal indica direção do esforço; aqui interessa o módulo e as componentes).
  • Para entender componentes, introduzimos um eixo horizontal x com versor \mathbf{e}_x. A componente horizontal do diferencial de força é
dF_x = d\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_x = -p\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_x)\,dA.
Em módulo, a contribuição horizontal de dA é p\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_x)\,dA.

Passo 3

Idéia da projeção e relação geométrica (passo chave, explicado devagarinho):
  • Considere o elemento de área dA da superfície curva e sua projeção ortogonal sobre um plano vertical cuja normal é \mathbf{e}_x (esse plano é vertical porque sua normal é horizontal). Chama-se essa projeção de dA_{\text{proj}}.
  • Geometricamente, se \theta for o ângulo entre a normal \mathbf{n} e o eixo x, então \mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_x=\cos\theta e a área projetada vale
dA_{\text{proj}} = dA\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_x).
(Se a projeção for tomada com sinal, o produto escalar já cuida disso; para módulos, tomar valor absoluto.)

Passo 4

Igualdade entre componente horizontal e força sobre a projeção:
  • Substituindo a expressão de dA_{\text{proj}} na componente horizontal do diferencial de força obtemos
dF_x = p\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_x)\,dA = p\,dA_{\text{proj}}.
  • Integrando sobre toda a superfície curva:
F_x = \int dF_x = \int p\,dA_{\text{proj}}.
  • O lado direito é exatamente a expressão da força hidrostática sobre a área plana igual à projeção vertical da superfície (a pressão p avaliada em cada ponto da projeção, integrada sobre essa área). Ou seja: a soma (integração) das contribuições horizontais de cada pedacinho da superfície é igual à força que o fluido exerceria sobre a projeção vertical dessa superfície.

Passo 5

Interpretação final e resposta em palavras simples:
  • A componente horizontal da força resultante sobre a superfície curva é numericamente igual à força hidrostática que atuaria sobre a projeção vertical da superfície (a “sombra” que a superfície faria num plano vertical). Assim, entre as alternativas dadas, a correta é a que diz “a projeção vertical da superfície curva”.

Resposta

(c) A projeção vertical da superfície curva.

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