Em uma superfície curva submersa em um fluido em repouso, a componente horizontal da força hidrostática resultante é igual à força hidrostática exercida sobre:
(a) A área real da superfície curva.
(b) A projeção horizontal da superfície curva.
(c) A projeção vertical da superfície curva.
(d) O volume de fluido acima da superfície.
(a) A área real da superfície curva.
(b) A projeção horizontal da superfície curva.
(c) A projeção vertical da superfície curva.
(d) O volume de fluido acima da superfície.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície curva submersa em um fluido em repouso e pergunta: a componente horizontal da força hidrostática resultante sobre essa superfície é igual à força hidrostática exercida sobre qual das opções abaixo?
- (a) A área real da superfície curva.
- (b) A projeção horizontal da superfície curva.
- (c) A projeção vertical da superfície curva.
- (d) O volume de fluido acima da superfície.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é curva e está totalmente submersa.
- O fluido está em repouso (situação de hidrostática).
- Quer-se comparar a componente horizontal da força resultante com forças aplicadas sobre áreas ou volumes relacionados à superfície.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (aula rápida e sem medo):
- Em repouso, a pressão hidrostática em profundidade
é dada por
onde
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade vertical do ponto considerado. Então a pressão depende só da profundidade vertical, não da inclinação da superfície.
- A força sobre um pequeno elemento de área plana
da superfície é a pressão vezes a área:
onde
é o versor normal à superfície (o sinal indica direção do esforço; aqui interessa o módulo e as componentes).
- Para entender componentes, introduzimos um eixo horizontal
com versor . A componente horizontal do diferencial de força é
Em módulo, a contribuição horizontal de
é
.
Passo 3
Idéia da projeção e relação geométrica (passo chave, explicado devagarinho):
- Considere o elemento de área
da superfície curva e sua projeção ortogonal sobre um plano vertical cuja normal é (esse plano é vertical porque sua normal é horizontal). Chama-se essa projeção de . - Geometricamente, se
for o ângulo entre a normal e o eixo , então e a área projetada vale
(Se a projeção for tomada com sinal, o produto escalar já cuida disso; para módulos, tomar valor absoluto.)
Passo 4
Igualdade entre componente horizontal e força sobre a projeção:
- Substituindo a expressão de
na componente horizontal do diferencial de força obtemos
- Integrando sobre toda a superfície curva:
- O lado direito é exatamente a expressão da força hidrostática sobre a área plana igual à projeção vertical da superfície (a pressão
avaliada em cada ponto da projeção, integrada sobre essa área). Ou seja: a soma (integração) das contribuições horizontais de cada pedacinho da superfície é igual à força que o fluido exerceria sobre a projeção vertical dessa superfície.
Passo 5
Interpretação final e resposta em palavras simples:
- A componente horizontal da força resultante sobre a superfície curva é numericamente igual à força hidrostática que atuaria sobre a projeção vertical da superfície (a “sombra” que a superfície faria num plano vertical). Assim, entre as alternativas dadas, a correta é a que diz “a projeção vertical da superfície curva”.
Resposta
(c) A projeção vertical da superfície curva.