Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6 . Determinar:
(a) Pressão relativa em A quando \mathrm{h} 1=0,4 \mathrm{~m} e \mathrm{h} 2=0,9 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever tudo claramente, com as unidades):
  • massa específica do fluido medido: \rho_f = 700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • mercúrio com densidade relativa 13{,}6. Vou interpretar isso como densidade absoluta \rho_{\text{Hg}} = 13{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • alturas fornecidas: \,h_1 = 0{,}4\\ \mathrm{m} e \,h_2 = 0{,}9\\ \mathrm{m}.
  • pede-se a pressão relativa em A, isto é \,p_A - p_{\text{atm}}.
Observação de interpretação (importante): adotarei a convenção usual para manômetro em U em muitos exercícios didáticos:
  • h_1 é a altura vertical da coluna do fluido de densidade \rho_f desde o ponto A até a superfície do mercúrio do lado conectado a A;
  • h_2 é a diferença vertical entre a superfície do mercúrio do lado oposto (lado aberto) e a superfície do mercúrio do lado conectado a A, tomando h_2>0 quando a superfície do mercúrio no lado aberto está acima da do lado conectado a A.
    Com essa convenção, a relação entre as pressões fica clara e leva a uma fórmula simples que vou derivar a seguir.

Passo 2

Relembrando a física básica do manômetro (mini-aula):
  • A equação hidrostática diz que a pressão varia com a profundidade segundo
p(z_2)=p(z_1)+\rho g (z_1-z_2),
onde \rho é a densidade do fluido na coluna atravessada, g é a aceleração da gravidade e z é a cota vertical (baixando aumenta a pressão).
  • Em um mesmo fluido contínuo, pontos à mesma cota têm a mesma pressão.
  • No manômetro composto (dois fluidos), podemos seguir uma linha do ponto A até a superfície aberta e igualar pressões em um nível de referência através das colunas de fluido e de mercúrio.
Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Montagem do balanço de pressão seguindo um caminho vertical e horizontal que liga A à superfície aberta (pressão atmosférica):
  1. Descer de A até a superfície do mercúrio do lado ligado a A (queda vertical h_1) atravessando o fluido de densidade \rho_f. Assim a pressão na superfície do mercúrio do lado ligado (ponto L) é
p_L = p_A + \rho_f g h_1.
  1. Mover-se através do mercúrio até a superfície do mercúrio do lado aberto. Se essa superfície do lado aberto estiver acima da do lado ligado por h_2 (convenção do passo 1), então ao subir no mercúrio a pressão diminui em \rho_{\text{Hg}} g h_2. A pressão na superfície do mercúrio do lado aberto (ponto R) é então
p_R = p_L - \rho_{\text{Hg}} g h_2.
  1. No ponto R a pressão é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}, pois é a superfície aberta. Logo
p_{\text{atm}} = p_L - \rho_{\text{Hg}} g h_2.
Substituindo p_L da etapa 1:
p_{\text{atm}} = \bigl(p_A + \rho_f g h_1\bigr) - \rho_{\text{Hg}} g h_2.
Rearranjando para obter a pressão relativa em A:
p_A - p_{\text{atm}} = \rho_{\text{Hg}} g h_2 - \rho_f g h_1.
Essa fórmula tem interpretação física clara: a coluna de mercúrio que fica mais alta dá um aumento de pressão proporcional a \rho_{\text{Hg}} g h_2, enquanto a coluna do fluido medido de altura h_1 contribui para reduzir (ou aumentar, dependendo do sinal) a diferença com \rho_f g h_1.

Passo 4

Agora aplicamos os números:
  • \rho_{\text{Hg}} = 13{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \rho_f = 700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • h_2 = 0{,}9\\ \mathrm{m}.
  • h_1 = 0{,}4\\ \mathrm{m}.
  • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calcule primeiro o termo dentro do parêntese:
\rho_{\text{Hg}}\,h_2 - \rho_f\,h_1 = (13{,}6\times10^{3})(0{,}9) - (700)(0{,}4).
Façamos as contas passo a passo:
(13{,}6\times10^{3})(0{,}9)=13{,}6\times0{,}9\times10^{3}=12{,}24\times10^{3}=12240,
(700)(0{,}4)=280.
Logo
\rho_{\text{Hg}}\,h_2 - \rho_f\,h_1 = 12240 - 280 = 11960\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
Multiplicando por g para obter a pressão:
p_A - p_{\text{atm}} = 11960 \times 9{,}81 = 117327{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente para três algarismos significativos:
p_A - p_{\text{atm}} \approx 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 117\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • O resultado é positivo, o que significa que p_A é maior que a pressão atmosférica nessa configuração (coerente com o fato de a coluna de mercúrio do lado aberto estar mais alta e a densidade do mercúrio ser muito maior que a do fluido).
  • A ordem de grandeza \sim10^{5}\\ \mathrm{Pa} (centenas de kPa) é razoável para colunas dessas alturas quando se usa mercúrio por causa de sua alta densidade.

Resposta

p_A - p_{\text{atm}} \approx 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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