3.7- Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é
e o módulo de compressibilidade volumétrica
for constante, determine o peso especifico do líquido a
uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água,
, para profundidades relativamente baixas, por exemplo
, para propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível.
uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água,
Passo 1
O enunciado pede para determinar como varia o peso específico
de um líquido em repouso com a profundidade
, sabendo que no nível da superfície livre
e que o módulo de compressibilidade volumétrica
é constante. Em seguida, há que mostrar que, para água com
e
, a variação de
é desprezível e, portanto, podemos tratar a água como incompressível em profundidades relativamente baixas.
Passo 2
O módulo de compressibilidade volumétrica
é definido pela relação
onde
é o volume e
a pressão. Como a massa
se conserva,
varia inversamente à densidade
. Logo
Passo 3
O peso específico
relaciona-se com a densidade por
, com
constante. Dividindo a variação de
pela própria
obtém-se
Passo 4
Em equilíbrio hidrostático vale
. Substituindo em
resulta
Passo 5
A equação diferencial
separa-se como
Integrando de
(onde
) até
e
dá
Isolando
vem
Passo 6
Para a água usamos
,
e
. O fator
vale
Logo
Aumenta-se só cerca de
, valor desprezível para a maior parte dos problemas de engenharia.
Resposta
e, para água com
a
, a variação de
é de apenas
, o que permite tratá-la como praticamente incompressível.