4.5- Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja distribuição media de temperatura e indicada abaixo. O barômetro indica uma pressão absoluta de 27 kPa . Calcular a que altura voa o avião. Dados R=287 \mathrm{~m}^{2} /\left(\mathrm{s}^{2} \mathrm{~K}\right) (ar), \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, N.M.M. corresponde ao nível médio do mar.

Passo 1

O enunciado dá a pressão absoluta medida pelo barômetro p = 27\\ \text{kPa} e fornece um perfil linear de temperatura com a altura. Precisamos usar a fórmula barométrica para atmosfera com gradiente térmico constante (lapse rate) e os dados
R = 287\\ \mathrm{m^2/(s^2\,K)},\quad g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2},\quad p_0 = 101{,}325\\ \text{kPa}
onde p_0 é a pressão ao nível médio do mar (N.M.M.).

Passo 2

Do gráfico vemos que, ao nível do mar h=0, a temperatura é 20\,^\circ\text{C}, e em h=1000\\ \mathrm m é 0\,^\circ\text{C}. Assim definimos
T_0 = 20\,^\circ\text C = 293\\ \mathrm K,
e o gradiente térmico (lapse rate)
L = \frac{T_0 - T(1000)}{1000} = \frac{293 - 273}{1000} = 0{,}02\\ \mathrm K/m.
Logo a temperatura em função da altura é
T(h) = T_0 - L\,h.

Passo 3

Da equação de equilíbrio hidrostático e equação de estado do gás ideal, com T variável linearmente, obtemos a relação
\frac{p(h)}{p_0} = \Bigl(\frac{T(h)}{T_0}\Bigr)^{\frac{g}{R\,L}}.

Passo 4

Substituindo T(h)=T_0 - Lh e isolando h, temos
\frac{p}{p_0} = \Bigl(1 - \tfrac{L\,h}{T_0}\Bigr)^{\!\frac{g}{R\,L}} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{L\,h}{T_0} = \Bigl(\frac{p}{p_0}\Bigr)^{\!\frac{R\,L}{g}}
\implies h = \frac{T_0}{L}\,\Bigl[\,1 - \Bigl(\frac{p}{p_0}\Bigr)^{\!\frac{R\,L}{g}}\Bigr].

Passo 5

Calculando numericamente:
\frac{p}{p_0} = \frac{27}{101{,}325}\approx 0{,}2665, \quad \frac{R\,L}{g} = \frac{287\cdot0{,}02}{9{,}8}\approx0{,}585,
\Bigl(\tfrac{p}{p_0}\Bigr)^{0{,}585} \approx e^{0{,}585\ln(0{,}2665)}\approx0{,}461,
h = \frac{293}{0{,}02}\,\bigl(1 - 0{,}461\bigr) \approx 14\,650 \times 0{,}539 \approx 7\,900\\ \mathrm m.

Resposta

O avião voa a aproximadamente 7{,}9\\ \mathrm{km} de altitude.

Exercícios relacionados