As superfícies esféricas
e 5 estão uniformemente carregadas com densidades iguais á
e
, respectivamente.
a) Qual deve ser o valor de
para que
seja nulo se
?
b) Considerando que
determine uma expressão para
para
.
a) Qual deve ser o valor de
b) Considerando que
Passo 1
O enunciado dá três superfícies esféricas concêntricas com raios
,
e
(metros) e densidades superficiais uniformes iguais a
,
e
(todas em
). São feitas duas perguntas:
a) Qual o valor de tal que
para
?
b) Considerando , determine uma expressão para
válida em
.
a) Qual o valor de
b) Considerando
Informações relevantes listadas:
- Raios das superfícies:
, , . - Densidades superficiais:
, , . - Queremos a condição
para fora da maior esfera e depois a expressão de no intervalo pedido quando .
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): a lei integral de Gauss para o campo deslocamento
diz que a integral do fluxo de
por uma superfície fechada é igual à carga livre total contida:
Para simetria esférica (caso aqui),
é radial e depende só de
. Num esfera de raio
temos área
, então, para
não coincidindo com as superfícies carregadas,
onde
é a componente radial de
(com sinal positivo para direção
para fora). Portanto:
Observação sobre sinal: se
for negativo,
é negativo, ou seja
aponta na direção
(para dentro).
Passo 3
Calcular as cargas nas três superfícies (a carga numa casca esférica de raio
e densidade
é
). Aplicando aos dados:
Passo 4
Resposta da parte (a): queremos
para
. Pela fórmula da Passo 2 isso exige
, ou seja a soma das três cargas deve ser zero:
Isolando
:
Forma fracionária:
.
Passo 5
Preparando a parte (b): agora fixamos
. Primeiro calculemos
numérico:
Relembrando
e
.
Para
precisamos das expressões em cada região separada pelas superfícies carregadas: (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
. (Em
exatamente igual a
há descontinuidade de
normal igual à densidade superficial; aqui damos as expressões nos intervalos abertos e podemos entender os limites laterais.)
Passo 6
Calcular
e
em cada região:
(i) Para
: não há carga livre dentro da superfície de raio
, então
e
(ii) Para
: apenas a casca de raio
está dentro, então
. Aplicando a fórmula:
(iii) Para
: dentro estão as cascas de
e
, então
. Logo
(iv) Para
: agora todas as três cascas estão dentro,
. Então
Em todas as expressões acima
está em metros e
em
. O sinal negativo indica que
aponta para
(para dentro).
Resposta
(a)
(
).\n
(b) Para :
(b) Para