As superfícies esféricas r=3,4 e 5 estão uniformemente carregadas com densidades iguais á -8,-12 e \rho_{\mathrm{sx}} \eta \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, respectivamente.
a) Qual deve ser o valor de \rho_{\mathrm{sx}} para que \mathbf{D} seja nulo se \mathrm{r}>5 ?
b) Considerando que \rho_{\mathrm{sx}}=2 \eta \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} determine uma expressão para \mathbf{D} para 0 \leq \mathrm{r} \leq 6 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá três superfícies esféricas concêntricas com raios \;3, \;4 e \;5 (metros) e densidades superficiais uniformes iguais a \;-8, \;-12 e \rho_{\mathrm{sx}} (todas em \mathrm{C}/\mathrm{m}^2). São feitas duas perguntas:
a) Qual o valor de \rho_{\mathrm{sx}} tal que \mathbf{D}=0 para \;r>5 ?
b) Considerando \rho_{\mathrm{sx}}=2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, determine uma expressão para \mathbf{D} válida em 0\le r\le 6\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes listadas:
  • Raios das superfícies: \;r_1=3\\ \mathrm{m}, \;r_2=4\\ \mathrm{m}, \;r_3=5\\ \mathrm{m}.
  • Densidades superficiais: \;\sigma_1=-8\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, \;\sigma_2=-12\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, \;\sigma_3=\rho_{\mathrm{sx}}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • Queremos a condição \mathbf{D}=0 para fora da maior esfera e depois a expressão de \mathbf{D}(r) no intervalo pedido quando \sigma_3=2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): a lei integral de Gauss para o campo deslocamento \mathbf{D} diz que a integral do fluxo de \mathbf{D} por uma superfície fechada é igual à carga livre total contida:
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\mathrm{livre,\,enc}}.
Para simetria esférica (caso aqui), \mathbf{D} é radial e depende só de r. Num esfera de raio r temos área 4\pi r^2, então, para r não coincidindo com as superfícies carregadas,
D_r(r)\,4\pi r^2 = Q_{\mathrm{enc}}(r),
onde D_r(r) é a componente radial de \mathbf{D} (com sinal positivo para direção \hat{r} para fora). Portanto:
\mathbf{D}(r)=\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{4\pi r^2}\,\hat{r}.
Observação sobre sinal: se Q_{\mathrm{enc}} for negativo, D_r é negativo, ou seja \mathbf{D} aponta na direção -\hat{r} (para dentro).

Passo 3

Calcular as cargas nas três superfícies (a carga numa casca esférica de raio a e densidade \sigma é Q=4\pi a^2\sigma). Aplicando aos dados:
Q_1 = 4\pi(3)^2\cdot(-8)=4\pi\cdot9\cdot(-8) = -288\pi\\ \mathrm{C},
Q_2 = 4\pi(4)^2\cdot(-12)=4\pi\cdot16\cdot(-12) = -768\pi\\ \mathrm{C},
Q_3 = 4\pi(5)^2\cdot\rho_{\mathrm{sx}} = 4\pi\cdot25\cdot\rho_{\mathrm{sx}} = 100\pi\,\rho_{\mathrm{sx}}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Resposta da parte (a): queremos \mathbf{D}=0 para \;r>5. Pela fórmula da Passo 2 isso exige Q_{\mathrm{enc}}(r>5)=0, ou seja a soma das três cargas deve ser zero:
Q_1+Q_2+Q_3 = -288\pi -768\pi + 100\pi\,\rho_{\mathrm{sx}} = 0.
Isolando \rho_{\mathrm{sx}}:
100\pi\,\rho_{\mathrm{sx}} = 288\pi + 768\pi = 1056\pi,
\rho_{\mathrm{sx}} = \frac{1056\pi}{100\pi} = \frac{1056}{100}=10{,}56\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
Forma fracionária: \rho_{\mathrm{sx}}=\dfrac{264}{25}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Preparando a parte (b): agora fixamos \rho_{\mathrm{sx}}=2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Primeiro calculemos Q_3 numérico:
Q_3 = 100\pi\cdot 2 = 200\pi\\ \mathrm{C}.
Relembrando Q_1=-288\pi e Q_2=-768\pi.
Para 0\le r\le 6\\ \mathrm{m} precisamos das expressões em cada região separada pelas superfícies carregadas: (i) 0\le r<3, (ii) 3<r<4, (iii) 4<r<5, (iv) 5<r\le 6. (Em r exatamente igual a 3,4,5 há descontinuidade de \mathbf{D} normal igual à densidade superficial; aqui damos as expressões nos intervalos abertos e podemos entender os limites laterais.)

Passo 6

Calcular Q_{\mathrm{enc}} e \mathbf{D} em cada região:
(i) Para 0\le r<3: não há carga livre dentro da superfície de raio r, então Q_{\mathrm{enc}}=0 e
\mathbf{D}(r)=0.
(ii) Para 3<r<4: apenas a casca de raio 3 está dentro, então Q_{\mathrm{enc}}=Q_1=-288\pi. Aplicando a fórmula:
\mathbf{D}(r)=\frac{Q_1}{4\pi r^2}\,\hat{r}=\frac{-288\pi}{4\pi r^2}\,\hat{r}=\frac{-288}{4}\cdot\frac{1}{r^2}\,\hat{r} = -\frac{72}{r^2}\,\hat{r}\quad\left(\mathrm{C}/\mathrm{m}^2\right).
(iii) Para 4<r<5: dentro estão as cascas de r=3 e r=4, então Q_{\mathrm{enc}}=Q_1+Q_2=-288\pi-768\pi=-1056\pi. Logo
\mathbf{D}(r)=\frac{-1056\pi}{4\pi r^2}\,\hat{r}=-\frac{1056}{4}\cdot\frac{1}{r^2}\,\hat{r}=-\frac{264}{r^2}\,\hat{r}.
(iv) Para 5<r\le 6: agora todas as três cascas estão dentro, Q_{\mathrm{enc}}=Q_1+Q_2+Q_3=-288\pi-768\pi+200\pi=-856\pi. Então
\mathbf{D}(r)=\frac{-856\pi}{4\pi r^2}\,\hat{r}=-\frac{856}{4}\cdot\frac{1}{r^2}\,\hat{r}=-\frac{214}{r^2}\,\hat{r}.
Em todas as expressões acima r está em metros e \mathbf{D} em \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. O sinal negativo indica que \mathbf{D} aponta para -\hat{r} (para dentro).

Resposta

(a) \rho_{\mathrm{sx}}=10{,}56\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2 ( \rho_{\mathrm{sx}}=\dfrac{264}{25}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2).\n
(b) Para \rho_{\mathrm{sx}}=2\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2:
\mathbf{D}(r)=\begin{cases} 0, & 0\le r<3,\\[6pt] -\dfrac{72}{r^2}\,\hat{r}, & 3<r<4,\\[6pt] -\dfrac{264}{r^2}\,\hat{r}, & 4<r<5,\\[6pt] -\dfrac{214}{r^2}\,\hat{r}, & 5<r\le 6. \end{cases}]

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