Seja \boldsymbol{D}=\left(2 y^{2} z-8 x y\right) \hat{a}_{\boldsymbol{x}}+\left(4 x y z-4 x^{2}\right) \hat{a}_{\boldsymbol{y}}+ \left(2 x y^{2}+4 z\right) \hat{a}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
a) Determine a quantidade de fluxo que atravessa um volume esférico de 10^{-14} \mathrm{~m}^{3} localizado em \mathrm{P}(1,- 2,3);
b) Determine a carga total contida no volume.
c) Qual é a densidade volumétrica (média) de carga no interior do volume?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{D}=\left(2 y^{2} z-8 x y\right)\hat{a}_{x}+\left(4 x y z-4 x^{2}\right)\hat{a}_{y}+\left(2 x y^{2}+4 z\right)\hat{a}_{z}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2},
um volume esférico de V=10^{-14}\\ \mathrm{m}^{3} localizado no ponto P(1,-2,3). Pede-se:
a) a quantidade de fluxo que atravessa a superfície fechada desse volume (fluxo total);
b) a carga total contida no volume;
c) a densidade volumétrica média de carga no interior do volume.
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) que diz:
O lado esquerdo é o fluxo de \mathbf{D} através da superfície fechada \partial V. O lado direito é a integral do divergente de \mathbf{D} sobre o volume; fisicamente, para o campo \mathbf{D} eletrostático, esse fluxo é igual à carga livre contida no volume:
Unidades: \mathbf{D} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, \nabla\cdot\mathbf{D} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3, a integral sobre volume dá Coulombs.
Passo 3
Calculo explícito do divergente \nabla\cdot\mathbf{D}. Por definição,
Agora a integral de \nabla\cdot\mathbf{D} sobre o volume esférico. Escrevo a função em torno do centro P como valor em P mais termos que dependem de (pequenas) variações espaciais. Para uma esfera centrada em P, a integral sobre o volume de qualquer termo linear em (x-x_{P}), (y-y_{P}), (z-z_{P}) ou de termos cruzados como (x-x_{P})(z-z_{P}) é zero por simetria (pares de pontos opostos na esfera se cancelam). Assim a integral do divergente sobre a esfera é exatamente o valor no centro multiplicado pelo volume: