Seja \boldsymbol{D}=\left(2 y^{2} z-8 x y\right) \hat{a}_{\boldsymbol{x}}+\left(4 x y z-4 x^{2}\right) \hat{a}_{\boldsymbol{y}}+ \left(2 x y^{2}+4 z\right) \hat{a}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
a) Determine a quantidade de fluxo que atravessa um volume esférico de 10^{-14} \mathrm{~m}^{3} localizado em \mathrm{P}(1,- 2,3);
b) Determine a carga total contida no volume.
c) Qual é a densidade volumétrica (média) de carga no interior do volume?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{D}=\left(2 y^{2} z-8 x y\right)\hat{a}_{x}+\left(4 x y z-4 x^{2}\right)\hat{a}_{y}+\left(2 x y^{2}+4 z\right)\hat{a}_{z}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2},
um volume esférico de V=10^{-14}\\ \mathrm{m}^{3} localizado no ponto P(1,-2,3). Pede-se:
a) a quantidade de fluxo que atravessa a superfície fechada desse volume (fluxo total);
b) a carga total contida no volume;
c) a densidade volumétrica média de carga no interior do volume.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) que diz:
\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV.
O lado esquerdo é o fluxo de \mathbf{D} através da superfície fechada \partial V. O lado direito é a integral do divergente de \mathbf{D} sobre o volume; fisicamente, para o campo \mathbf{D} eletrostático, esse fluxo é igual à carga livre contida no volume:
Q_{\text{contida}}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV.
Unidades: \mathbf{D} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^2, \nabla\cdot\mathbf{D} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3, a integral sobre volume dá Coulombs.

Passo 3

Calculo explícito do divergente \nabla\cdot\mathbf{D}. Por definição,
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}z-8xy)+\frac{\partial}{\partial y}(4xyz-4x^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(2xy^{2}+4z).
Agora cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}z-8xy)=0-8y=-8y,
\frac{\partial}{\partial y}(4xyz-4x^{2})=4xz-0=4xz,
\frac{\partial}{\partial z}(2xy^{2}+4z)=0+4=4.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{D}=-8y+4xz+4.

Passo 4

Avalio \nabla\cdot\mathbf{D} no ponto P(1,-2,3). Substituo x=1, y=-2, z=3:
\nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{P}=-8(-2)+4(1)(3)+4.
Faço as contas passo a passo:
-8(-2)=16,\qquad 4\cdot1\cdot3=12,\qquad 16+12+4=32.
Portanto \nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{P}=32\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Agora a integral de \nabla\cdot\mathbf{D} sobre o volume esférico. Escrevo a função em torno do centro P como valor em P mais termos que dependem de (pequenas) variações espaciais. Para uma esfera centrada em P, a integral sobre o volume de qualquer termo linear em (x-x_{P}), (y-y_{P}), (z-z_{P}) ou de termos cruzados como (x-x_{P})(z-z_{P}) é zero por simetria (pares de pontos opostos na esfera se cancelam). Assim a integral do divergente sobre a esfera é exatamente o valor no centro multiplicado pelo volume:
\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV=(\nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{P})\;V.
(Isto é exato aqui porque as partes variáveis da expressão do divergente têm média nula sobre a esfera centrada em P.)

Passo 6

Calculo do fluxo (parte a)):
\Phi=\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV=(32)\times 10^{-14}\\ \mathrm{C}.
Multiplicando:
\Phi=3,2\times 10^{-13}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Carga total contida no volume (parte b)): pela lei de Gauss para \mathbf{D},
Q_{\text{total}}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV=\Phi=3,2\times 10^{-13}\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Densidade volumétrica média de carga no interior do volume (parte c)): definição
\rho_{\text{média}}=\frac{Q_{\text{total}}}{V}=\frac{3,2\times 10^{-13}\\ \mathrm{C}}{10^{-14}\\ \mathrm{m}^{3}}=32\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.é
Observação: este resultado coincide com \nabla\cdot\mathbf{D}\big|_{P}, como visto acima.

Resposta

(a) 3,2\times 10^{-13}\\ \mathrm{C}\n(b) 3,2\times 10^{-13}\\ \mathrm{C}\n(c) 32\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}

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