Supondo as matrizes boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} e boldsymbol{D} quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais a matriz boldsymbol{X} é a variável.
boldsymbol{A} \boldsymbol{D} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}

Passo 1

O enunciado dá uma equação matricial
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C}
onde \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, e pede para resolver para \boldsymbol{X}. O conteúdo principal aqui é a multiplicação de matrizes e o uso de matrizes inversas para “isolar” \boldsymbol{X}.

Passo 2

Como \boldsymbol{A} e \boldsymbol{D} são inversíveis, o produto \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D} também é inversível. Vamos multiplicar a equação original à esquerda por (\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D})^{-1}, obtendo
(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D})^{-1}\,(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{X}) \;=\; (\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D})^{-1}\,(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C}).
O lado esquerdo simplifica para \boldsymbol{X}.

Passo 3

Para simplificar o lado direito, usamos a propriedade
(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D})^{-1} =\boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{A}^{-1}.
Logo
\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D})^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C} = \boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{A}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C} = \boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C}.

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{X} = \boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C}.

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